XVIII. 微分の逆操作としての積分

微分という操作を使うと、\(x\) の関数 \(y\) に対する \(\dfrac{dy}{dx}\) を計算できる。

他の数学的操作と同様に、微分にも逆の操作がある。例えば \(y = x^{4}\) を微分すると \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^{3}\) になるので、\(\dfrac{dy}{dx} = 4x^{3}\) に微分と逆の操作を行えば \(y = x^{4}\) が得られる。ここで興味深いのが、微分すると \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^{3}\) になる関数は \(x^{4}\) の他にも存在し、\(x^{4} + a\) や \(x^{4} + c\) といった \(x^{4}\) に任意の定数を足した関数も全て条件を満たす点である。つまり \(\dfrac{dy}{dx}\) から \(y\) を求める逆の操作の結果には定数が含まれ、この定数は別の方法で定める必要がある。例えば \(y = x^{n}\) なら \(\dfrac{dy}{dx} = nx^{n-1}\) が分かるが、\(\dfrac{dy}{dx} = nx^{n-1}\) からは \(y = x^{n} + C\) が分かる。ここで \(C\) が表すのは定まっていない定数であり、\(0\) となる可能性もある。

\(x\) のべきに対する微分の逆操作の規則はすぐに分かる: 指数を \(1\) 増やし、増やした指数で割り、不定の定数を足せばよい。

つまり \[ \frac{dy}{dx} = x^n \] に対して微分の逆を行うと \[ y = \frac{1}{n + 1} x^{n+1} + C \] となる。

また関数 \(y = ax^{n}\) を微分すると \[ \frac{dy}{dx} = anx^{n-1} \] である。ここから \[ \frac{dy}{dx} = anx^{n-1} \] に微分の逆を行うと \[ y = ax^n \] が得られるとすぐに分かる。つまり定数と関数の積に対して微分の逆操作を適用するには、関数に逆操作を適用してから定数を掛ければよい。

例えば \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^{2}\) に微分の逆操作を行うと \(y = \dfrac{4}{3}x^{3}\) となる。

しかしこの答は完全でない。というのも、\(C\) を適当な定数として \[ y = ax^n + C \] を考えれば、ここからも \[ \frac{dy}{dx} = anx^{n-1} \] が得られるのである。微分の逆操作を行うときには、値が分からなくても、この不定定数を加えるのを忘れてはいけない。

この微分の逆操作を積分 (integration) と呼ぶ¹。積分と呼ばれているのは、\(dy\) や \(\dfrac{dy}{dx}\) といった断片を表す式から全体の値 \(y\) を求める操作を表すためである²。ここまで \(dy\) と \(dx\) は微分係数として分数の分母と分子に組で登場することが多かったが、これから積分では別々に目にすることになる。

簡単な等式 \[ \frac{dy}{dx} = x^{2} \] から始めよう。これを変形すると \[ dy = x^{2}\, dx \] となる。変形した後の等式は微分方程式 (differential equation) と呼ばれ、\(y\) の小部分が対応する \(x\) の小部分と \(x^{2}\) の積に等しいと主張している。ここで積分を使おう。両辺を積分することを命令する正式な記号を書き加えれば次を得る: \[ \int dy = \int x^{2}\, dx \]

[積分の読み方について: この等式は「インテグラル・ディーワイ・イコール・インテグラル・エックスにじょう・ディーエックス」と読む]

積分を ──可能なら── 計算せよという命令を書いただけで、まだ積分の計算はしていない。実際に計算してみよう。積分ができる馬鹿は大勢いる ──私たちにもできるに違いない。まず \(y\) の小部分を全て集めたものは \(y\) に等しいから、左辺は \(y\) そのものになる。つまり \[ y = \int x^{2}\, dx \] である。

右辺の積分を考えるときには、足されている項が \(dx\) ではなく \(x^{2}\, dx\) である点に気を付けなければならない。\(x^{2}\) は定数でないから、この積分は \(x^{2} \displaystyle \int dx\) と等しくない。\(x\) の値に応じて一部の \(dx\) には大きな \(x^{2}\) が掛けられ、他の \(dx\) には小さな \(x^{2}\) が掛けられるからである。積分が微分の逆操作であることをここで利用する。微分の逆操作の一般的な規則によれば、\(x^{n}\) の積分は「指数を \(1\) 増やし、増やした指数で割り、不定の定数を足す」ことで計算できる。今の例では \(x^{2}\, dx\) が積分によって \(\dfrac{1}{3} x^{3}\) となる³。これを等式に表せばよいのだが、そのときには積分定数 \(C\) を足すのを忘れてはいけない。つまり \[ y = \frac{1}{3} x^{3} + C \] が答である。

これで積分を計算できた。何と簡単なことか！

もう一つ簡単な例を示す。定数 \(a\) に対する \[ \frac{dy}{dx} = ax^{12} \] を考える。微分では \(y\) に掛けられた定数がそのまま \(\dfrac{dy}{dx}\) に掛けられることは前に見た。よって積分という積分の逆の操作でも定数が \(y\) に掛けられる。後は前問と同様に \[ \begin{aligned} dy &= ax^{12} \cdot dx \\ \int dy &= \int ax^{12} \cdot dx \\ \int dy &= a \int x^{12}\, dx \\ y &= a \times \frac{1}{13} x^{13} + C \end{aligned} \] が求まる。

これで終わりである。何と簡単なことか！

ここまで読めば分かるように、積分とは微分したものを元に戻す操作である。もし何らかの式を微分して特定の式 (今の例なら \(ax^{12}\)) が出てきたなら、微分を元に戻す操作をその式に行うと最初の式 \(y\) が得られる。とある有名な教師が話した、この事実を分かりやすく説明する例え話がある。トラファルガー広場を初めて訪れた人にイーストン駅まで歩いてみろと言ってもできるはずはないが、もしイーストン駅からトラファルガー広場まで歩いたことがある人なら、広場から駅までの道筋を比較的簡単に見つけられるだろう。

関数と和と差の積分

等式 \[ \frac{dy}{dx} = x^{2} + x^{3} \] からは \[ dy = x^{2}\, dx + x^{3}\, dx \] が分かる。

この等式に表れる二つの項を別々に積分してはいけない道理はない。第六章で見たように、二つの関数の和を微分すると別々に微分した関数の和が得られる。この議論を逆回しにすれば、和の積分が積分の和になると分かる。

よって今の例は次のように計算できる: \[ \begin{aligned} \int dy &= \int (x^{2} + x^{3})\, dx \\ &= \int x^{2}\, dx + \int x^{3}\, dx \\ y &= \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{4} x^{4} + C \end{aligned} \]

二つの項のどちらかが負なら、それに対応する積分の項も負となる。つまり差も和と同様に処理できる。

定数を積分する式があるとしよう。例えば \[ \frac{dy}{dx} = x^n + b \] である。これは笑えるほど簡単に解ける。\(y = ax\) を微分すれば \(\dfrac{dy}{dx} = a\) だから、定数を積分すると \(x\) が掛けられる。よって \[ \begin{aligned} dy &= x^n\, dx + b \cdot dx \\ \int dy &= \int x^n\, dx + \int b\, dx \\ y &= \frac{1}{n+1} x^{n+1} + bx + C \end{aligned} \] となる。

この新しい力を試すための例題を示す。

例

\(\text{(1)}\) \(\dfrac{dy}{dx} = 24x^{11}\) だと分かった。\(y\) を求めよ。 \(\qquad\) 答: \(y = 2x^{12} + C\)

\(\text{(2)}\) \(\displaystyle \int (a + b)(x + 1)\, dx\) を求めよ。 \(\qquad\) 答は \((a + b) \displaystyle \int (x + 1)\, dx\) であり、これは \((a + b) \left[\displaystyle \int x\, dx + \displaystyle \int dx\right] = {}\) \((a + b) \left(\dfrac{x^{2}}{2} + x\right) + C\) と計算できる。

\(\text{(3)}\) \(\dfrac{du}{dt} = gt^{\frac{1}{2}}\) のとき、\(u\) を求めよ。\(\qquad\) 答: \(u = \dfrac{2}{3} gt^{\frac{3}{2}} + C\)

\(\text{(4)}\) \(\dfrac{dy}{dx} = x^{3} - x^{2} + x\) とする。\(y\) を求めよ。 \[ \begin{aligned} dy &= (x^{3} - x^{2} + x)\, dx \\ &= x^{3}\, dx - x^{2}\, dx + x\, dx \\ y &= \int x^{3}\, dx - \int x^{2}\, dx + \int x\, dx \\ &= \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C \end{aligned} \]

\(\text{(5)}\) \(9.75x^{2.25}\, dx\) を積分せよ。\(\qquad\) 答: \(y = 3x^{3.25} + C\)

以上の例はどれも難しくない。別の例として \[ \dfrac{dy}{dx} = ax^{-1} \] を考えよう。

これまでと同じようにすれば \[ dy = a x^{-1} \cdot dx,\quad \int dy = a \int x^{-1}\, dx \] が分かる。\(x^{-1}\, dx\) の積分は何だろう？

\(x^{2},\ \) \(x^{3},\ \ldots,\ \) \(x^{n}\) の微分結果を確認すると、これらの関数の \(\dfrac{dy}{dx}\) には \(x^{-1}\) が表れないことが分かる。\(3x^{2}\) は \(x^{3}\) から得られ、\(2x\) は \(x^{2}\) から得られ、\(1\) は \(x^{1}\) (つまり \(x\)) から得られる。しかし \(x^{-1}\) は \(x^{0}\) から得られない。これは二つの事実から説明できる。第一に、\(x^{0} = 1\) は定数なので、微分係数は \(0\) にしかならない。第二に、仮に規則を無理やり適用したとしても、得られる式の分母は \(0 \times x^{-1}\) なので、微分は \(0\) と計算される。そのため \(x^{-1} dx\) を積分する問題では、\(x\) のべきに対する一般的な微分規則 \[ \int x^n\, dx = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} \] は使えない。\(x^{-1}\) はこの規則の例外である。

というわけで、もう一度考えよう。様々な \(x\) の関数を微分して得られる式を調べて、\(x^{-1}\) を見つければよい。今までに出てきた関数を見直せば、\(\dfrac{dy}{dx} = x^{-1}\) は関数 \(y = \log_e x\) の微分結果だと分かる。

\(\log_{e} x\) を微分すると \(x^{-1}\) になるので、\(dy = x^{-1}\, dx\) を積分すれば \(y = \log_{e} x\) になる。ただし与えられた等式に含まれる定数 \(a\) と積分定数を忘れてはいけない。この点に注意すれば、この問題に対する解が求まる: \[ y = a \log_e x + C \]

注意──ここで非常に重要な事実を指摘しておく。仮に積分の答が微分できない式なら、その積分の問題を解くことはできない。今の例であれば、もし \(\log_{e} x\) の微分が \(x^{-1}\) だと知らなければ、\(x^{-1}\, dx\) を積分する問題は絶対に答えられない。これは積分の持つ興味深い特徴の一つである ──積分の逆操作である微分の結果として積分したい式が出てこない限り、その式を積分することはできない。例えば次の式を積分できたものは現代でさえ誰もいない: \[ \frac{dy}{dx} = a^{-x^{2}} \] 微分すると \(a^{-x^{2}}\) になる式が発見されていないためである。

簡単な例

\(\displaystyle \int (x + 1)(x + 2)\, dx\) を求めよ。

積分される関数を見ると、二つの関数の積であることが分かる。\((x + 1)\, dx\) なら積分できるし、\((x + 2)\, dx\) も積分できる。もちろんできるが、では積をどうするべきだろうか？ 今までに説明したどんな微分規則を使っても、このような積が微分結果に表れることはない。この考え方では上手く行かないので、積を求めてから積分するという単純な方法を使うことになる。すると \[ \int (x^{2} + 3x + 2)\, dx \] が分かる。これは \[ \int x^{2}\, dx + \int 3x\, dx + \int 2\, dx \] と同じだから、積分を計算して \[ \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2x + C \] を得る。

その他の関数の積分

積分が微分の逆操作であるという知識を利用すれば、これまでに示した様々な関数の微分結果から積分を計算できる。積分結果をここにまとめる。

(\(y = - \dfrac{1}{e^{x}}\) とすれば \(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\varepsilon^x \times 0 - 1 \times \varepsilon^x}{\varepsilon^{2x}} = \varepsilon^{-x}\) が成り立つ)

(\(y = x \log_e x - x\) とすれば \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{x} + \log_e x - 1 = \log_e x\) が成り立つ)

\(\cos^{2} \theta\) を積分してみよう。次の式変形を使うと簡単になる: \[ \begin{gathered} \cos 2\theta = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta = 2\cos^{2} \theta - 1 \\ \cos^{2}\theta = \frac{1}{2}(\cos 2\theta + 1) \end{gathered} \] ここから \[ \begin{aligned} \int\cos^{2} \theta\, d\theta &= \frac{1}{2} \int (\cos 2\theta + 1)\, d\theta \\ &= \frac{1}{2} \int \cos 2 \theta\, d\theta + \frac{1}{2} \int d\theta \\ &= \frac{\sin 2\theta}{4} + \frac{\theta}{2} + C \end{aligned} \] が分かる。

微分および積分の表を巻末に示した。自分用にも表を作り、微分や積分を計算できた関数を書き加えていくとよい。表はこれから埋まっていくことだろう！

二重積分と三重積分

式に含まれる二つ以上の変数それぞれについて積分を行うこともあるが、そういった場合には積分の記号が複数付く。例えば \[ \iint f(x,y)\, dx\, dy \] は \(x\) と \(y\) の関数を \(x\) と \(y\) それぞれについて積分した結果を表す。積分の順序は結果に影響しない。例えば \(x^{2} + y^{2}\) を \(x\) について積分すると \[ \int \left(x^{2}+y^{2}\right)\, dx = \frac{1}{3} x^{3} + xy^{2} \] となる。さらに \(y\) について積分すれば \[ \int \left(\frac{1}{3} x^{3} + xy^{2}\right)\, dy = \frac{1}{3} x^{3}y + \frac{1}{3} xy^{3} \] となり、これに積分定数を足せば答となる。積分の順序を変えて \(y\) について先に積分したとしても結果は変わらない。

領域の面積や空間の表面積を扱うときには、縦と横の長さ両方に関する積分が必要になる。このような場合に使うのが \[ \iint u \cdot dx\, dy \] という形の積分であり、ここで \(u\) は \(x\) と \(y\) から定まる点の位置に依存する量を表す。この積分は面積分 (surface integral) と呼ばれ、\(u \cdot dx \cdot dy\) という小要素 (\(dx\) と \(dy\) からなる小さい長方形の面積と、その長方形における \(u\) の値の積) を全ての点に関して足した和を表す。

同様に空間を扱うときには三つの次元が存在する。各辺が \(dx,\ \) \(dy,\ \) \(dz\) である直方体が空間の小要素を表し、この小要素に対応する \((x,\ y,\ z)\) における関数の値 \(f(x, y, z)\) と小要素の体積の積の空間全体に渡る和を体積分 (volume integral) と呼ぶ。体積分は \[ {\footnotesize \text{体積分}} = \iiint f(x,y,z) \cdot dx \cdot dy \cdot dz \] と表される。こういった積分は各次元の区間が定まって始めて値が定まる⁴。考えている空間の境界が \(x,\ \) \(y,\ \) \(z\) に応じてどう変化するのかを知らないと、体積分は計算できない。\(x\) の区間が \(x_{1}\) から \(x_{2}\) で、\(y\) の区間が \(y_{1}\) から \(y_{2}\) で、\(z\) の区間が \(z_{1}\) から \(z_{2}\) だとすれば \[ {\footnotesize \text{体積分}} = \int_{z1}^{z2} \int_{y1}^{y2} \int_{x1}^{x2} f(x,y,z) \cdot dx \cdot dy \cdot dz \] となる。

もちろんこれよりも複雑で計算の難しい積分も多く存在する。しかし積分記号が表面や空間に対する積分を表す場合であれば、その意味は非常に簡単に理解できる。

練習問題 XVII

解答はここにある。

\(\text{(1)}\) \(y^{2} = 4 ax\) のとき \(\displaystyle \int y\, dx\) を求めよ。

\(\text{(2)}\) \(\displaystyle \int \frac{3}{x^{4}}\, dx\) を求めよ。

\(\text{(3)}\) \(\displaystyle \int \frac{1}{a} x^{3}\, dx\) を求めよ。

\(\text{(4)}\) \(\displaystyle \int (x^{2} + a)\, dx\) を求めよ。

\(\text{(5)}\) \(5x^{-\frac{7}{2}}\) を積分せよ。

\(\text{(6)}\) \(\displaystyle \int (4x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1)\, dx\) を求めよ。

\(\text{(7)}\) \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{ax}{2} + \dfrac{bx^{2}}{3} + \dfrac{cx^{3}}{4}\) とする。\(y\) を求めよ。

\(\text{(8)}\) \(\displaystyle \int \left(\frac{x^{2} + a}{x + a}\right) dx\) を求めよ。

\(\text{(9)}\) \(\displaystyle \int (x + 3)^{3}\, dx\) を求めよ。

\(\text{(10)}\) \(\displaystyle \int (x + 2)(x - a)\, dx\) を求めよ。

\(\text{(11)}\) \(\displaystyle \int (\sqrt x + \sqrt[3] x) 3a^{2}\, dx\) を求めよ。

\(\text{(12)}\) \(\displaystyle \int (\sin \theta - \frac{1}{2})\, \frac{d\theta}{3}\) を求めよ。

\(\text{(13)}\) \(\displaystyle \int \cos^{2} a \theta\, d\theta\) を求めよ。

\(\text{(14)}\) \(\displaystyle \int \sin^{2} \theta\, d\theta\) を求めよ。

\(\text{(15)}\) \(\displaystyle \int \sin^{2} a \theta\, d\theta\) を求めよ。

\(\text{(16)}\) \(\displaystyle \int e^{3x}\, dx\) を求めよ。

\(\text{(17)}\) \(\displaystyle \int \dfrac{dx}{1 + x}\) を求めよ。

\(\text{(18)}\) \(\displaystyle \int \dfrac{dx}{1 - x}\) を求めよ。

1. 訳注: 議論の論理展開を考えると、この一文は「微分の逆操作は今まで考えてきた “積分” と同じ操作である (ことが分かっている)」と理解する必要がある。^[return]

2. 訳注: 英語の “integration” には「分かれていたものを (何らかの目的のために) 繋げ合わせる・組み合わせる」という意味がある。^[return]

3. 最後の \(dx\) はどこに行ったのかと疑問に思うかもしれない。最初の等式で \(dx\) は微分係数の一部であり、両辺に \(dx\) を掛けて \(x^2\, dx\) とするときに移行された。積分における \(dx\) は \(x\) が積分操作の対象となる独立変数であることを表す記号として存在する。そのため積分で \(x^{2}\,dx\) を足し上げると、\(\bm{x^{2}}\) の指数が \(1\) 増えることになる。この考え方にはいずれ慣れる。^[return]

4. 積分の区間については第十八章で説明する。^[return]