IX. 微分のテクニック

微分すべき式が複雑すぎて直接には扱えない場合がある。例えば初学者にとって \[ y = (x^{2}+a^{2})^{\frac{3}{2}} \] は上手く扱えない式である。

この式を簡単に微分するテクニックを紹介しよう。\(x^{2} + a^{2}\) の部分を適当な記号 (例えば \(u\)) で表すと、上述の式は \[ y = u^{\frac{3}{2}} \] となる。この式なら簡単に微分できる: \[ \frac{dy}{du} = \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}} \] 続いて新しい式 \[ u = x^{2} + a^{2} \] を考えよう。これを \(x\) に関して微分すると \[ \frac{du}{dx} = 2x \] となる。ここまでくれば、後は \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \] を使った簡単な計算によって元の微分が完了する: \[ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}} \times 2x \\ &= \frac{3}{2} (x^{2} + a^{2})^{\frac{1}{2}} \times 2x \\ &= 3x(x^{2} + a^{2})^{\frac{1}{2}} \end{aligned} \]

後に三角関数や指数関数の微分方法を学ぶと、この方法を活用できる機会がさらに増える。

例をいくつか使ってこの微分方法を練習しよう。

\(\text{(1)}\) \(y = \sqrt{a+x}\) を微分せよ。

\(a + x = u\) とすれば \[ \begin{aligned} \frac{du}{dx} &= 1, \\ y &= u^{\frac{1}{2}}, \quad \frac{dy}{du} = \dfrac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2} (a+x)^{-\frac{1}{2}},\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{a+x}} \end{aligned} \] となる。

\(\text{(2)}\) \(y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x^{2}}}\) を微分せよ。

\(a + x^{2} = u\) とすれば \[ \begin{aligned} \frac{du}{dx} &= 2x, \\ y &= u^{-\frac{1}{2}},\quad \frac{dy}{du} = -\frac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}},\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}×\frac{du}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(a+x^{2})^{3}}} \end{aligned} \] となる。

\(\text{(3)}\) \(y = \left(m - nx^{\frac{2}{3}} + \dfrac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^a\) を微分せよ。

\(m - nx^{\frac{2}{3}} + px^{-\frac{4}{3}} = u\) とすれば \[ \begin{gathered} \frac{du}{dx} = -\frac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} - \frac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}},\\ y = u^a, \quad \frac{dy}{du} = a u^{a-1}, \\ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}×\frac{du}{dx} = -a\left(m -nx^{\frac{2}{3}} + \frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^{a-1} (\frac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}}) \end{gathered} \] となる。

\(\text{(4)}\) \(y=\dfrac{1}{\sqrt{x^{3} - a^{2}}}\) を微分せよ。

\(u = x^{3} - a^{2}\) とすれば \[ \begin{aligned} \frac{du}{dx} &= 3x^{2},\\ y & = u^{-\frac{1}{2}}, \quad \frac{dy}{du} = -\frac{1}{2}(x^{3} - a^{2})^{-\frac{3}{2}}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = -\frac{3x^{2}}{2\sqrt{(x^{3} - a^{2})^{3}}} \end{aligned} \] となる。

\(\text{(5)}\) \(y=\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}\) を微分せよ。

与えられた式は \(y=\dfrac{(1-x)^{\frac{1}{2}}}{(1+x)^{\frac{1}{2}}}\) と書けるから \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} - (1-x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx}}{1+x} \] が分かる。

この問題は \(y = (1-x)^{\frac{1}{2}} (1+x)^{-\frac{1}{2}}\) と考えて積の微分規則を使って解くこともできる。この場合には問題 \((1)\) と同じ方法で \[ \frac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}} ,\quad \frac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \] が分かるので、 \[ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= - \frac{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1-x}} - \frac{(1 - x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1+x}} \\ &= - \frac{1}{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}} - \frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{(1+x)^{3}}} \\ &= - \frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^{2}}} \end{aligned} \] を得る。

\(\text{(6)}\) \(y = \sqrt{\dfrac{x^{3}}{1+x^{2}}}\) を微分せよ。

この関数は \[ y = x^{\frac{3}{2}}(1+x^{2})^{-\frac{1}{2}} \] と書けるので、微分は \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}(1 + x^{2})^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} \times \frac{d\bigl[(1+x^{2})^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx} \] となる。

問題 \(\text{(2)}\) と同じ方法で \((1+x^{2})^{-\frac{1}{2}}\) を微分すれば \[ \frac{d\bigl[(1+x^{2})^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(1+x^{2})^{3}}} \] が分かる。よって \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x^{2}}} - \frac{\sqrt{x^{5}}}{\sqrt{(1+x^{2})^{3}}} = \frac{\sqrt{x}(3+x^{2})}{2\sqrt{(1+x^{2})^{3}}} \] を得る。

\(\text{(7)}\) \(y=(x+\sqrt{x^{2}+x+a})^{3}\) を微分せよ。

\(x+\sqrt{x^{2}+x+a} = u\) とすれば \[ \begin{gathered} \frac{du}{dx} = 1 + \frac{d\bigl[(x^{2}+x+a)^{\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}, \\ y = u^{3},\quad \frac{dy}{du} = 3u^{2}= 3\left(x+\sqrt{x^{2}+x+a}\right)^{2} \end{gathered} \] が分かる。さらに \((x^{2}+x+a)^{\frac{1}{2}}=v\) および \((x^{2}+x+a) = w\) とすれば \[ \begin{aligned} \frac{dw}{dx} &= 2x+1,\quad v = w^{\frac{1}{2}},\quad \frac{dv}{dw} = \frac{1}{2}w^{-\frac{1}{2}}, \\ \frac{dv}{dx} &= \frac{dv}{dw} \times \frac{dw}{dx} = \frac{1}{2}(x^{2}+x+a)^{-\frac{1}{2}}(2x+1) \\ \end{aligned} \] であり、ここから \[ \begin{aligned} \quad \quad \quad \frac{du}{dx} &= 1 + \frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x+a}}, \\ \quad \quad \quad \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}\\ &= 3\left(x+\sqrt{x^{2}+x+a}\right)^{2} \left(1 +\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x+a}}\right) \end{aligned} \] を得る。

\(\text{(8)}\) \(y=\sqrt{\dfrac{a^{2}+x^{2}}{a^{2}-x^{2}}} \sqrt[3]{\dfrac{a^{2}-x^{2}}{a^{2}+x^{2}}}\) を微分せよ。

次が分かる: \[ \begin{aligned} y &= \frac{(a^{2}+x^{2})^{\frac{1}{2}} (a^{2}-x^{2})^{\frac{1}{3}}} {(a^{2}-x^{2})^{\frac{1}{2}} (a^{2}+x^{2})^{\frac{1}{3}}} = (a^{2}+x^{2})^{\frac{1}{6}} (a^{2}-x^{2})^{-\frac{1}{6}}, \\ \frac{dy}{dx} &= (a^{2}+x^{2})^{\frac{1}{6}} \frac{d\bigl[(a^{2}-x^{2})^{-\frac{1}{6}}\bigr]}{dx} + \frac{d\bigl[(a^{2}+x^{2})^{\frac{1}{6}}\bigr]}{(a^{2}-x^{2})^{\frac{1}{6}}\, dx} \end{aligned} \]

\(u = (a^{2}-x^{2})^{-\frac{1}{6}}\) および \(v = (a^{2} - x^{2})\) とすれば \[ \begin{aligned} u &= v^{-\frac{1}{6}},\quad \frac{du}{dv} = -\frac{1}{6}v^{-\frac{7}{6}},\quad \frac{dv}{dx} = -2x, \\ \frac{du}{dx} &= \frac{du}{dv} \times \frac{dv}{dx} = \frac{1}{3}x(a^{2}-x^{2})^{-\frac{7}{6}} \end{aligned} \] を得る。

さらに \(w = (a^{2} + x^{2})^{\frac{1}{6}}\) そして \(z = (a^{2} + x^{2})\) とすれば \[ \begin{aligned} w &= z^{\frac{1}{6}},\quad \frac{dw}{dz} = \frac{1}{6}z^{-\frac{5}{6}},\quad \frac{dz}{dx} = 2x, \\ \frac{dw}{dx} &= \frac{dw}{dz} \times \frac{dz}{dx} = \frac{1}{3} x(a^{2} + x^{2})^{-\frac{5}{6}} \end{aligned} \] であり、ここから微分が求まる: \[ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= (a^{2}+x^{2})^{\frac{1}{6}} \frac{x}{3(a^{2}-x^{2})^{\frac{7}{6}}} + \frac{x}{3(a^{2}-x^{2})^{\frac{1}{6}} (a^{2}+x^{2})^{\frac{5}{6}}} \\ &= \frac{x}{3} \left[\sqrt[6]{\frac{a^{2}+x^{2}}{(a^{2}-x^{2})^{7}}} + \frac{1}{\sqrt[6]{(a^{2}-x^{2})(a^{2}+x^{2})^{5}}} \right] \end{aligned} \]

\(\text{(9)}\) \(y^{n}\) を \(y^{5}\) に関して微分せよ。

\[ \frac{d(y^n)}{d(y^{5})} = \frac{ny^{n-1}}{5y^{5-1}} = \frac{n}{5} y^{n-5} \]

\(\text{(10)}\) \(y = \dfrac{x}{b} \sqrt{(a-x)x}\) の一次微分係数および二次微分係数を求めよ。

まず \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{b}\, \frac{d\bigl\{\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}}\bigr\}}{dx} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b} \] が分かる。\(\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}} = u\) および \((a-x)x = w\) とすれば \(u = w^{\frac{1}{2}}\) が成り立つ。そして \[ \begin{aligned} \frac{du}{dw} & = \frac{1}{2} w^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2w^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{(a-x)x}}, \\ & \frac{dw}{dx} = a-2x, \\ & \frac{du}{dw} \times \frac{dw}{dx} = \frac{du}{dx} = \frac{a-2x}{2\sqrt{(a-x)x}} \end{aligned} \] だから、 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x(a-2x)}{2b\sqrt{(a-x)x}} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b} = \frac{x(3a-4x)}{2b\sqrt{(a-x)x}} \] を得る。

ここから \[ \begin{aligned} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} &= \frac{2b \sqrt{(a-x)x}\, (3a-8x) - \dfrac{(3ax-4x^{2})b(a-2x)}{\sqrt{(a-x)x}}} {4b^{2}(a-x)x} \\ &= \frac{3a^{2}-12ax+8x^{2}}{4b(a-x)\sqrt{(a-x)x}} \end{aligned} \] が分かる。この二つの微分係数は後で利用することになる (練習問題 X.11)。

練習問題 VI

解答はここにある。

次の関数を微分せよ:

\(\text{(1)}\) \(y = \sqrt{x^{2} + 1}\) \(\ \)
\(\text{(2)}\) \(y = \sqrt{x^{2}+a^{2}}\) \(\ \)
\(\text{(3)}\) \(y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x}}\) \(\ \)
\(\text{(4)}\) \(y = \dfrac{a}{\sqrt{a-x^{2}} }\) \(\ \)
\(\text{(5)}\) \(y = \dfrac{\sqrt{x^{2}-a^{2}} }{x^{2}}\) \(\ \)
\(\text{(6)}\) \(y = \dfrac{\sqrt[3]{x^{4}+a}}{\sqrt[2]{x^{3}+a}}\) \(\ \)
\(\text{(7)}\) \(y = \dfrac{a^{2}+x^{2}}{(a+x)^{2}}\) \(\ \)
\(\text{(8)}\) \(y^{5}\) を \(y^{2}\) に関して微分せよ。 \(\ \)
\(\text{(9)}\) \(y = \dfrac{\sqrt{1 - \theta^{2}} }{1 - \theta}\) を微分せよ。 \(\ \)

この章で紹介した方法は三つ以上の関数の微分係数が関係する場合にも拡張できる。例えば \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dz} \times \dfrac{dz}{dv} \times \dfrac{dv}{dx}\) となる。

\(\text{(1)}\) \(z = 3x^{4},\ \) \(v = \dfrac{7}{z^{2}},\ \) \(y =\sqrt{1+v}\) とする。\(\dfrac{dy}{dx}\) を求めよ。

仮定から次が分かる: \[ \frac{dy}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{1+v}},\quad \frac{dv}{dz} = -\frac{14}{z^{3}},\quad \frac{dz}{dx} = 12x^{3} \] よって \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{168x^{3}}{(2\sqrt{1+v})z^{3}} = -\frac{28}{3x^{5}\sqrt{9x^{8}+7}} \] となる。

\(\text{(2)}\) \(t = \dfrac{1}{5\sqrt{\theta}},\ \) \(x = t^{3} + \dfrac{t}{2},\ \) \(v = \dfrac{7x^{2}}{\sqrt[3]{x-1}}\) とする。\(\dfrac{dv}{d\theta}\) を求めよ。

\[ \begin{gathered} \frac{dv}{dx} = \frac{7x(5x-6)}{3\sqrt[3]{(x-1)^{4}}},\quad \frac{dx}{dt} = 3t^{2} + \frac{1}{2},\quad \frac{dt}{d\theta} = -\frac{1}{10\sqrt{\theta^{3}}} \end{gathered} \] であり、 \[ \begin{gathered} \frac{dv}{d\theta} = -\frac{7x(5x-6)\left(3t^{2}+\dfrac{1}{2}\right)} {30\sqrt[3]{(x-1)^{4}} \sqrt{\theta^{3}}} \end{gathered} \] が成り立つ。この式の \(x\) を定義で置き換え、さらに \(t\) を \(\theta\) を使った式で置き換えれば求めるべき式が得られる。

\(\text{(3)}\) \(\theta = \dfrac{3a^{2}x}{\sqrt{x^{3}}},\ \) \(\omega = \dfrac{\sqrt{1-\theta^{2}}}{1+\theta},\ \) \(\phi = \sqrt{3} - \dfrac{1}{\omega\sqrt{2}}\) とする。\(\dfrac{d\phi}{dx}\) を求めよ。

与えられた式は \[ \theta = 3a^{2}x^{-\frac{1}{2}},\quad \omega = \sqrt{\frac{1-\theta}{1+\theta}},\quad \phi = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{2}} \omega^{-1} \] と変形できる。よって \[ \frac{d\theta}{dx} = -\frac{3a^{2}}{2\sqrt{x^{3}}},\quad \frac{d\phi}{d\omega} = \frac{1}{\sqrt{2}\omega^{2}} \] であり、さらに 一つ前の例の (5) から \[ \frac{d\omega}{d\theta} = -\frac{1}{(1+\theta)\sqrt{1-\theta^{2}}} \] が分かる。ここから \(\dfrac{d\theta}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{2} \omega^{2}} \times \dfrac{1}{(1+\theta) \sqrt{1-\theta^{2}}} \times \dfrac{3a^{2}}{2\sqrt{x^{3}}}\) を得る。

最初に \(\omega\) を定義で置き換え、それから \(\theta\) を定義で置き換えれば求めるべき微分係数が得られる。

練習問題 VII

ここまでの知識を使えば次の問題に答えられる。解答はここにある。

\(\text{(1)}\) \(u = \dfrac{1}{2}x^{3},\ \) \(v = 3(u+u^{2}),\ \) \(w = \dfrac{1}{v^{2}}\) とする。\(\dfrac{dw}{dx}\) を求めよ。

\(\text{(2)}\) \(y = 3x^{2} + \sqrt{2},\ \) \(z = \sqrt{1+y},\ \) \(v = \dfrac{1}{\sqrt{3}+4z}\) とする。\(\dfrac{dv}{dx}\) を求めよ。

\(\text{(3)}\) \(y = \dfrac{x^{3}}{\sqrt{3}},\ \) \(z = (1+y)^{2},\ \) \(u = \dfrac{1}{\sqrt{1+z}}\) とする。\(\dfrac{du}{dx}\) を求めよ。