14.2 冪級数の和

等式 \(\text{(14.1)}\) の証明は第 2.2.1 項と第 5.1.2 項で与えたものの、この等式を見つける方法は未だに謎のままである。もちろん、等式の正しさは整列原理または数学的帰納法で確認できる。しかし、何も知らない状態で等式の右辺にある式を得るにはどうしたらいいのだろうか？他にも、次に示す正整数の二乗和の公式を思い付くことなど不可能に思える:

\[ \sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{(2n+1)(n+1)n}{6} \tag{14.15}\]

これらの等式を導出する方法は存在する。ただ、幼い Gaussガウスが見つけたとされる等式 \(\text{(14.1)}\) の証明を最初に見ておくのも面白いだろう ── 著者ら考える「面白い」の定義が読者と異なる可能性があることは認める。

Gauss のアイデアは第 14.1 節で使った摂動法に似ている。\(S\) を次のように定める:

\[ S = \sum_{i=1}^{n} i \]

この総和の項を二つの順序で表記する:

\[ \def\arraystretch{1.2}\begin{array}{ccccccccccc} S & = & 1 & + & 2 & + & \cdots & + & (n-1) & + & n \\ S & = & n & + & (n-1) & + & \cdots & + & 2 & + & 1 \end{array} \]

二つの式を加えると、次の等式を得る:

\[ \begin{aligned} 2S &= (n + 1) + (n + 1) + \cdots + (n + 1) + (n + 1) \\ &= n(n + 1) \end{aligned} \]

よって次の等式が分かる:

\[ S =\frac{n(n + 1)}{2} \]

小さい子供にしては悪くない ── Gauss の才能の片鱗が見て取れる。

残念ながら、このテクニックでは正整数の二乗和を計算できない。しかし正整数の二乗和の閉形式が正確に分からなくても、\(n\) の三次式になるだろうとは予想できる: 平均して \(n\) に関して二次的に増加する項が \(n\) 個あるからである。そこで、次の等式が成り立つと仮定してみる:

\[ \sum_{i=1}^{n} i^{2} = an^{3} + bn^{2} + cn + d \]

この仮定が正しいなら、\(n\) の値をいくつか試すことでパラメータ \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) を決定できる。\(n\) の値を代入するたびに \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) に関する線形方程式が得られるので、十分多くの線形方程式があれば一意な解が得られる。実際に代入してみると、次の線形方程式が得られる:

\[ \begin{aligned} n &= 0 \ \text{ を代入: } \quad 0 = d \\ n &= 1 \ \text{ を代入: } \quad 1 = a + b + c + d \\ n &= 2 \ \text{ を代入: } \quad 5 = 8a + 4b + 2c + d \\ n &= 3 \ \text{ を代入: } \quad 14 = 27a + 9b + 3c + d \end{aligned} \]

この連立方程式を解くと \(a = 1/3\), \(b = 1/2\), \(c = 1/6\), \(d = 0\) を得る。よって、もし最初の仮定が正しいなら、総和は \(n^{3}/3 + n^{2}/2 + n/6\) となる。これは等式 \(\text{(14.15)}\) と一致する。

重要なのは次の点である: 変形後の式が多項式だと分かっていて、その次数の予想が付くなら、その係数は自動的に決定する。

注意！ この方法を使えば公式は見つかるものの、その正しさは保証されない！この方法で公式を見つけたら、数学的帰納法などを使って正しさを証明することを忘れてはいけない。最初に仮定した形式が誤っていると、最終的に得られる式も完全な間違いとなる！第 16 章では、次数の推測が必要とならない、母関数を利用する方法を学ぶ。