科学の分野の少なくとも一つ、つまり自ら [数論学者] の研究分野が、日常的な人間活動からの遠隔性のおかげで穏やかに、そして清らかに保たれるに違いない事実を大きな喜びとすることは、真に正当化されるだろう。
第 9 章 数論
数論 (number theory) は整数を研究する分野である。整数を研究する意味などあるのだろうか？ そもそも、整数について理解すべきことがあるのだろうか？ \(0\) があって、\(1\) と \(2\) があって、以降も同様で、おっと \(-1\), \(-2\), \(\ldots\) もあった。どれが理解できないって？ 数論に実用的な意味なんてあるのか？
数学者 G. H. Hardy は数論の非実用性を大きく評価していた。彼は次のように記している:
Hardy は数論が戦争で利用されない事実を特に重要だと感じていた: 彼は平和主義者だった。立派な考えだと思ったかもしれないが、彼に予想できなかったことがある: 数論は現代暗号理論の基礎となり、戦争で不可欠な機密通信を可能にした。また、オンライン決済にも暗号理論は欠かせない ── Hardy は棺桶の中で怒りに震えているかもしれない。Amazon で本を買うとき、ウェブページに対するアクセスで証明書を利用するとき、そして PayPal アカウントを使うとき、あなたのコンピューターでは数論に関係するアルゴリズムが実行される。
また、数論は本書でこれまで紹介してきた証明技法を練習・応用する絶好の機会を提供する。本章では最大公約数 (gcd) の性質を証明し、それを使って任意の整数が素数の積として一意に表せることを示す。その後は合同算術を説明し、RSA 公開鍵暗号の性質を可能な限り証明する。
本章では整数の性質を議論するので、変数の変域は整数全体の集合 \(\mathbb{Z}\) と定める。