§219 線積分

\(AB\) を次の方程式で定義される曲線の弧 \(C\) とする: \[ x = \phi(t),\quad y = \psi(t) \] ここで \(t\) の関数 \(\phi\) と \(\psi\) は連続な微分係数 \(\phi'\) と \(\psi'\) を持ち、\(t\) が \(t_{0}\) から \(t_{1}\) に変化するとき点 \((x, y)\) は \(A\) から \(B\) へと曲線上を同じ方向に動くとする。

このとき \(x\) と \(y\) の連続関数 \(g,\ h\) に対する線積分 (curvilinear integral) \[ \int_{C} \{g(x, y)\, dx + h(x, y)\, dy\} \qquad \text{(1)} \] を、この積分に対して置換 \(x = \phi(t),\ y = \psi(t)\) を形式的に適用して得られる通常の積分 \[ \int_{t_{0}}^{t_{1}} \{g(\phi, \psi) \phi' + h(\phi, \psi) \psi'\}\, dt \] として定義する。\(C\) を積分路 (path of integration) と呼ぶ。

ここで \[ z = x + iy = \phi(t) + i\psi(t) \] として、\(t\) が変化するときアルガン図において \(z\) が \(C\) の上を動くとする。さらに \[ f(z) = u + iv \] を \(z\) の多項式あるいは \(z\) の有理関数とする。

このとき \[ \int_{C} f(z)\, dz \qquad \text{(2)} \] を \[ \int_{C} (u + iv) (dx + i\, dy) \] として定義する。この積分はさらに次のように定義する: \[ \int_{C} (u\, dx - v\, dy) + i\int_{C} (v\, dx + u\, dy) \]



Amazon.co.jp アソシエイト (広告)
Audible の無料体験を始めよう
amazon music unlimited で音楽聞き放題
解析入門 I
軽装版 解析入門 I
定本 解析概論
ある数学者の生涯と弁明