§233 \(\cos z\) と \(\sin z\) のべき級数展開

前節の結果と §228 の等式 \(\text{(1)}\) から、全ての \(z\) に対する等式 \[ \cos z = 1 - \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{4}}{4!} - \cdots,\quad \sin z = z - \frac{z^{3}}{3!} + \frac{z^{5}}{5!} - \cdots \] を得る。実数 \(z\) に対するこの結果は 例 56.1 で示した。

例 96
  1. \(\cos z\) と \(\sin z\) のべき級数を使って \(\cos i\) と \(\sin i\) を小数点以下第二位まで計算せよ。

  2. \(|\cos z| \leq \cosh|z|\) と \(|\sin z| \leq \sinh|z|\) を示せ。

  3. \(|z| \lt 1\) なら \(|\cos z| \lt 2\) および \(|\sin z| \lt \dfrac{6}{5}|z|\) だと示せ。

  4. \(\sin 2z = 2\sin z \cos z\) から \[ (2z) - \frac{(2z)^{3}}{3!} + \frac{(2z)^{5}}{5!} - \cdots = 2\left(z - \frac{z^{3}}{3!} + \cdots\right) \left(1 - \frac{z^{2}}{2!} + \cdots\right) \] が分かる。右辺の二つの級数の積 (§195) を計算し、係数を比較 (§194) することで \[ \binom{2n + 1}{1} + \binom{2n + 1}{3} + \cdots + \binom{2n + 1}{2n + 1} = 2^{2n} \] を得る。この結果を二項定理を使って確認せよ。同様の恒等式を次の等式から導け: \[ \cos^{2}z + \sin^{2}z = 1,\quad \cos2z = 2\cos^{2}z - 1 = 1 - 2\sin^{2}z \]

  5. 次を示せ: \[ \exp\{(1 + i)z\} = \sum_{0}^{\infty} 2^{\frac{1}{2}n} \exp(\dfrac{1}{4}n\pi i) \frac{z^{n}}{n!} \]

  6. \(\cos z \cosh z\) を \(z\) のべき級数に展開せよ。 [等式 \[ \begin{aligned} \cos z \cosh z + i\sin z \sinh z & = \cos\{(1 - i)z\}\\ & = \dfrac{1}{2} [\exp\{(1 + i)z\} + \exp\{-(1 + i)z\}]\\ & = \dfrac{1}{2} \sum_{0}^{\infty} 2^{\frac{1}{2}n} \{1 + (-1)^{n}\} \exp(\dfrac{1}{4}n\pi i) \frac{z^{n}}{n!} \end{aligned} \] および \[ \begin{aligned} \cos z \cosh z - i\sin z \sinh z & = \cos (1 + i)z \\ & = \dfrac{1}{2} \sum_{0}^{\infty} 2^{\frac{1}{2}n} \{1 + (-1)^{n}\} \exp(-\dfrac{1}{4}n\pi i) \frac{z^{n}}{n!} \end{aligned} \] から \[ \begin{aligned} \cos z \cosh z & = \dfrac{1}{2} \sum_{0}^{\infty} 2^{\frac{1}{2}n}\{1 + (-1)^{n}\} \cos \dfrac{1}{4}n\pi \frac{z^{n}}{n!} \\ & = 1 - \frac{2^{2}z^{4}}{4!} + \frac{2^{4}z^{8}}{8!} - \cdots \end{aligned} \] が分かる]

  7. \(\sin z \sinh z,\ \cos z \sinh z,\ \sin z \cosh z\) を \(z\) のべき級数に展開せよ。

  8. \(\sin^{2} z\) と \(\sin^{3} z\) を \(z\) のべき級数に展開せよ。 [等式 \[ \sin^{2} z = \dfrac{1}{2} (1 - \cos 2z),\quad \sin^{3} z = \dfrac{1}{4} (3\sin z - \sin 3z),\ \cdots \] を使う。任意の整数 \(n\) に対する \(\cos^{n} z\) と \(\sin^{n} z\) も同じ方法で展開できる]

  9. 級数 \[ C = 1 + \frac{\cos z}{1!} + \frac{\cos 2z}{2!} + \frac{\cos 3z}{3!} +\cdots,\quad S = \frac{\sin z}{1!} + \frac{\sin 2z}{2!} + \frac{\sin 3z}{3!} + \cdots \] の和を求めよ。

    [ここでは \[ \begin{aligned} C + iS & = 1 + \dfrac{\exp(iz)}{1!} + \dfrac{\exp(2iz)}{2!} + \cdots \\ & = \exp\{\exp(iz)\} = \exp(\cos z) \{\cos(\sin z) + i\sin(\sin z)\} \end{aligned} \] および同様に \[ C - iS = \exp\{\exp(-iz)\} = \exp(\cos z)\{\cos(\sin z) - i\sin(\sin z)\} \] だから、 \[ C = \exp(\cos z)\cos(\sin z),\quad S = \exp(\cos z)\sin(\sin z) \] が分かる]

  10. 級数 \[ 1 + \frac{a\cos z}{1!} + \frac{a^{2}\cos 2z}{2!} + \cdots,\quad \frac{a\sin z}{1!} + \frac{a^{2}\sin 2z}{2!} + \cdots \] の和を求めよ。

  11. 級数 \[ 1 - \frac{\cos 2z}{2!} + \frac{\cos 4z}{4!} - \cdots,\quad \frac{\cos z}{1!} - \frac{\cos 3z}{3!} + \cdots \] の和を求め、サインを使った同様の級数の和を求めよ。

  12. 次を示せ: \[ 1 + \frac{\cos 4z}{4!} + \frac{\cos 8z}{8!} + \cdots = \dfrac{1}{2}\{\cos(\cos z) \cosh(\sin z) + \cos(\sin z) \cosh(\cos z)\} \]

  13. \(\cos(x + h)\) と \(\sin(x + h)\) の \(h\) のべき級数への展開 (例 56.1) が実数および複素数の全ての \(x\) と \(h\) で正しいことを示せ。



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