§129 多項式の積分

§113 で述べた一般的な定理と同じものは積分に対しても当然存在する。例えば \[ \int \{f(x) + F(x)\}\, dx = \int f(x) dx + \int F(x)\, dx, \qquad \text{(1)} \] \[ \int kf(x)\, dx = k\int f(x)\, dx \qquad \text{(2)} \] はすぐに分かる。

この等式はもちろん積分定数が適切に付いているものとして解釈する。つまり \(\text{(1)}\) は、\(f(x)\) の任意の積分と \(F(x)\) の任意の積分の和が \(f(x) + F(x)\) のとある積分になると主張している。

この定理を使えば、\(\sum A_{\nu} f(\nu)(x)\) という形をした関数、つまり積分が分かっている関数に定数を乗じた項の有限個の和の積分が求められるようになる。特に多項式の積分が求められる: \[ \int (a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n})\, dx = \frac{a_{0}x^{n+1}}{n + 1} + \frac{a_{1}x^{n}}{n} + \cdots + a_{n}x \]