§40 複素数 (その 2)

最も重要な実数の性質の一つが、二つの数の積が \(\bm{0}\) となるのは少なくとも一方が \(\bm{0}\) のときに限るという因数定理 (factor theorem) である。複素数でもこれが正しいことを証明するために、前節の式 (4) に \(x = 0\) と \(y = 0\) を代入する。すると \[ x'\xi - y'\eta = 0,\quad x'\eta + y'\xi = 0 \] が成り立つ。この方程式から \(\xi = 0,\ \eta = 0\) つまり \[ \xi + \eta i = 0 \] が成り立つか、そうでなければ \(x' = 0\) かつ \(y' = 0\) つまり \(x' + y'i = 0\) が成り立つことが分かる。よって \(x' + y'i\) と \(\xi + \eta i\) のどちらかが \(0\) でない限り \(x + yi\) は \(0\) にならない。



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