§214 \(\arctan x\) の級数展開

同様に \(-1 \leq x \leq 1\) で \[ \begin{aligned} \arctan x = \int_{0}^{x} \frac{dt}{1 + t^{2}} & = \int_{0}^{x}(1 - t^{2} + t^{4} - \cdots)\, dt\\ & = x - \dfrac{1}{3} x^{3} + \dfrac{1}{5} x^{5} - \cdots \end{aligned} \] だと容易に示せる。\(\log (1 + x)\) の展開と比べると、この等式の証明の方が簡単になる点が唯一異なる。というのも \(\arctan x\) は \(x\) の奇関数なので、正の \(x\) だけを考えればよい。またこの級数は \(x = 1\) だけでなく \(x = -1\) でも収束する。この級数で表される \(\arctan x\) の値は \(-1 \leq x \leq 1\) に対応する \(-\frac{1}{4}\pi\) と \(\frac{1}{4}\pi\) の間となる。この積分の値は第七章の 例 63.3 で求めた。また \(x = 1\) とすれば次の等式を得る: \[ \dfrac{1}{4}\pi = 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \cdots \]

例 91
  1. \(-1 \leq x \lt 1\) で \(\log \left(\dfrac{1}{1 - x}\right) = x + \dfrac{1}{2} x^{2} + \dfrac{1}{3} x^{3} + \cdots\) が成り立つ。

  2. \(-1 \lt x \lt 1\) で \(\text{argtanh } x = \dfrac{1}{2} \log\left(\dfrac{1 + x}{1 - x}\right) = x + \dfrac{1}{3} x^{3} + \dfrac{1}{5} x^{5} + \cdots\) が成り立つ。

  3. \(x\) が正なら \[ \log(1 + x) = \frac{x}{1 + x} + \dfrac{1}{2} \left(\frac{x}{1 + x}\right)^{2} + \dfrac{1}{3} \left(\frac{x}{1 + x}\right)^{3} + \cdots \] が成り立つ。

    (Math. Trip. 1911.)

  4. テイラーの定理を使って \(\log(1 + x)\) と \(\arctan x\) の級数を導け。

    [\(\log(1 + x)\) の級数でラグランジュの剰余項 \(R_{n} = (-1)^{n-1} x^{n}/\{n(1 + \theta x)^{n}\}\) を使うと、\(x\) が負のとき議論が難しくなる。代わりにコーシーの剰余項 \[ R_{n} = \frac{(-1)^{n-1} (1 - \theta)^{n-1} x^{n}}{(1 + \theta x)^{n}} \] を使うと示せる (例 56.2§163 の二項定理に関する議論でも同様だった)。

    \(\arctan x\) の級数では \[ \begin{aligned} D_{x}^{n} \arctan x & = D_{x}^{n-1} \{1/(1 + x^{2})\}\\ & = (-1)^{n-1} (n - 1)! (x^{2} + 1)^{-n/2} \sin \{n\arctan(1/x)\} \end{aligned} \] (例 45.11) を使う。剰余項は常に絶対値が \(1/n\) 以下であり、難しい部分はない1]

  5. \(y \gt 0\) なら \[ \log y = 2 \left\{\frac{y - 1}{y + 1} + \frac{1}{3} \left(\frac{y - 1}{y + 1}\right)^{3} + \frac{1}{5} \left(\frac{y - 1}{y + 1}\right)^{5} + \cdots\right\} \] が成り立つ。

    [恒等式 \(y = \biggl(1 + \dfrac{y - 1}{y + 1}\biggr) \bigg/ \biggl(1 - \dfrac{y - 1}{y + 1}\biggr)\) を使う。この級数は \(\log 2\) の計算に便利である。級数 \(1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \cdots\) では収束が遅くて使いものにならない。\(y = 2\) として \(\log 2\) を小数点以下第三位まで求めよ]

  6. 次の等式を使って \(\log 10\) を小数点以下第三位まで求めよ: \[ \log 10 = 3\log 2 + \log(1 + \dfrac{1}{4}) \]

  7. \(x \gt 0\) なら \[ \log \left(\frac{x + 1}{x}\right) = 2\left\{\frac{1}{2x + 1} + \frac{1}{3(2x + 1)^{3}} + \frac{1}{5(2x + 1)^{5}} + \cdots\right\} \] だと示せ。さらに \(x \gt 2\) なら \[ \log \frac{(x - 1)^{2}(x + 2)}{(x + 1)^{2}(x - 2)} = 2\left\{\frac{2}{x^{3} - 3x} + \frac{1}{3}\left(\frac{2}{x^{3} - 3x}\right)^{3} + \frac{1}{5}\left(\frac{2}{x^{3} - 3x}\right)^{5} + \cdots\right\} \] だと示せ。二つ目の等式に \(x = 10\) を代入し、さらに \(\log 2 = .6931471\ldots\) および \(\log 3 = 1.0986123\ldots\) を使うことで \(\log 11 = 2.397895\ldots\) を示せ。

    (Math. Trip. 1912.)

  8. \(\log 2,\ \log 5,\ \log 11\) が既知なら、\(\log 13\) の近似式 \[ \log 13 = 3\log 11 + \log 5 - 9\log 2 \] の誤差がほぼ \(.00015\) であることを示せ。

    (Math. Trip. 1910.)

  9. \(a = \text{argtanh }\dfrac{1}{31},\ b = \text{argtanh }\dfrac{1}{49},\ c = \text{argtanh }\dfrac{1}{161}\) とする。等式 \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2} \log 2 & = 7a + 5b + 3c,\\ \dfrac{1}{2} \log 3 & = 11a + 8b + 5c,\\ \dfrac{1}{2} \log 5 & = 16a + 12b + 7c \end{aligned} \] を示せ。 [この等式を使うと \(\log 2,\ \log 3,\ \log 5\) の値を任意の精度で高速に計算できる]

  10. 等式 \[ \dfrac{1}{4}\pi = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} = 4\arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} \] を示し、\(\pi\) を小数点以下第六位まで計算せよ。

  11. \((1 + x)^{1+x}\) の \(x\) のべき級数への展開が \(1 + x + x^{2} + \dfrac{1}{2} x^{3}\) から始まると示せ。

    (Math. Trip. 1910.)

  12. \(x\) が大きいとき次の等式が近似的に正しいことを示せ: \[ \log_{10} e - \sqrt{x(x + 1)} \log_{10}\left(\frac{1 + x}{x}\right) = \frac{\log_{10} e}{24x^{2}} \] この等式に \(x = 10\) を代入して \(\log_{10} e\) の近似値を計算し、この近似の正確さを求めよ。

    (Math. Trip. 1910.)

  13. \(-1 \lt x \lt 1\) で次の等式が成り立つことを示せ: \[ \frac{1}{1 - x} \log\left(\frac{1}{1 - x}\right) = x + \left(1 + \dfrac{1}{2}\right)x^{2} + \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right)x^{3} + \cdots \] [例 81.2 を使う]

  14. 対数級数および \(\log_{10} 2.3758 = .3758099\ldots\) と \(\log_{10} e = .4343\ldots\) を使って、方程式 \(x = 100 \log_{10}x\) の近似的な解が \(237.58121\) だと示せ。

    (Math. Trip. 1910.)

  15. \(\log\cos x\) と \(\log \sin x\) を \(x\) のべき級数として \(x^{4}\) まで展開し、この次数までを考えるなら \[ \log\sin x = \log x - \dfrac{1}{45} \log\cos x + \dfrac{64}{45}\log\cos \dfrac{1}{2}x \] だと示せ。

    (Math. Trip. 1908.)

  16. \(-1 \leq x \leq 1\) なら \[ \int_{0}^{x} \frac{dt}{1 + t^{4}} = x - \dfrac{1}{5}x^{5} + \dfrac{1}{9}x^{9} - \cdots \] だと示し、これを使って次の等式を導け: \[ 1 - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi + 2\log(\sqrt{2} + 1)}{4\sqrt{2}} \]

    (Math. Trip. 1896.)

    [§214 と同様に議論し、例 48.7 の結果を使う]

  17. 前問と同様に次を示せ: \[ \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{11} - \cdots = \int_{0}^{1} \frac{t^{2}\, dt}{1 + t^{4}} = \frac{\pi - 2\log(\sqrt{2} + 1)}{4\sqrt{2}} \]

  18. 一般に \(a\) と \(b\) が正なら \[ \frac{1}{a} - \frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + 2b} - \cdots = \int_{0}^{1} \frac{t^{a-1}\, dt}{1 + t^{b}} \] であり、級数の和が計算できることを示せ。この等式を使って \(1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{7} - \cdots\) と \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{8} - \cdots\) の和を計算せよ。


  1. \(D_{x}^{n} \arctan x\) の式には \(\arctan(1/x)\) が含まれるので、\(x = 0\) で定義されない。しかしこの場合の \(\arctan(1/x)\) が \(\frac{1}{2}\pi\) を意味していることは容易に分かる (参考: 例 45.11)。[return]