§212 指数関数と対数関数に関する級数

指数関数の任意の次数の導関数は指数関数に等しいから、とある \(\theta\) (\(0 \lt \theta \lt 1\)) で \[ e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \cdots + \frac{x^{n-1}}{(n - 1)!} + \frac{x^{n}}{n!} e^{\theta x} \] が成り立つ。例 27.12 からは \(x\) の値に関わらず \(n \to \infty\) で \(\dfrac{x^{n}}{n!} \to 0\) が分かるので、\(n\) を \(\infty\) に向かわせることで \[ e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!} + \cdots \qquad \text{(1)} \] を得る。

右辺の級数を指数級数 (exponential series) と呼ぶ。特に \[ e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \cdots \qquad \text{(2)} \] であり、ここから指数定理 (exponential theorem) として知られる等式 \[ \left(1 + 1 + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \cdots\right)^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!} + \cdots \qquad \text{(3)} \] を得る。また \[ a^{x} = e^{x\log a} = 1 + (x\log a) + \frac{(x\log a)^{2}}{2!} + \cdots \qquad \text{(4)} \] が全ての正の \(a\) に対して成り立つ。

指数級数には全ての項を微分するとそれ自身になるという性質があり、この性質を持つ \(x\) のべき級数は他にない。この関係については 補遺 Ⅱ で触れる。

\(e^{x}\) のべき級数は非常に重要なので、テイラーの定理によらない別証明を示すだけの価値がある。 \[ E_{n}(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!} \] として、\(x \gt 0\) を考える。このとき \[ \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} = 1 + n\left(\frac{x}{n}\right) + \frac{n(n - 1)}{1·2} \left(\frac{x}{n}\right)^{2} + \cdots + \frac{n(n - 1)\cdots 1}{1·2\cdots n} \left(\frac{x}{n}\right)^{n} \] は \(E_{n}(x)\) より小さい。さらに指数が負の整数の場合の二項定理から、\(n \gt x\) では \[ \left(1 - \frac{x}{n}\right)^{-n} = 1 + n\left(\frac{x}{n}\right) + \frac{n(n + 1)}{1·2} \left(\frac{x}{n}\right)^{2} + \cdots \gt E_{n}(x) \] が成り立つ。よって \[ \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} \lt E_{n}(x) \lt \left(1 - \frac{x}{n}\right)^{-n} \] を得る。一方で §208 から両端にある関数が \(n \to \infty\) で \(e^{x}\) に向かうと分かるので、\(E_{n}(x)\) も同様となる。この等式から正の \(x\) に対する等式 \(\text{(1)}\) が示せる。負の \(x\) に対するこの等式が正しいことを示すには、指数級数が満たす関数方程式 \(f(x)f(y) = f(x + y)\) から分かる関係 \(f(x)f(-x) = f(0) = 1\) を使う (例 81.7)。

例 90
  1. 次を示せ: \[ \cosh x = 1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \cdots,\quad \sinh x = x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \cdots \]

  2. \(x\) が正なら、べき級数の第 \(([x] + 1)\) 項が最大となる。ただし \(x\) が整数のときは一つ前の項も同じ大きさになる。

  3. \(n! \gt \left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}\) を示せ。 [\(\dfrac{n^{n}}{n!}\) は \(e^{n}\) の級数に含まれる]

  4. \(e^{n} = \dfrac{n^{n}}{n!}(2 + S_{1} + S_{2})\) を示せ。ここで \[ S_{1} = \frac{1}{1 + \nu} + \frac{1}{(1 + \nu)(1 + 2\nu)} + \cdots,\quad S_{2} = (1 - \nu) + (1 - \nu)(1 - 2\nu) + \cdots \] および \(\nu = \dfrac{1}{n}\) とする。さらに \(n!\) が \(2\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}\) と \(2(n + 1)\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}\) の間にあることを導け。

  5. \(e^{x}\) が \(x\) の任意のべきよりも速く無限大に向かうことを指数級数を使って示せ。 [不等式 \(e^{x} \gt \dfrac{x^{n}}{n!}\) を使う]

  6. \(e\) が有理数でないと示せ。 [もし正の整数 \(p,\ q\) を使って \(e = \dfrac{p}{q}\) と表せるなら \[ \frac{p}{q} = 1 + 1 + \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{q!} + \cdots \] が成り立つ。両辺に \(q!\) を乗じれば \[ q! \left(\frac{p}{q} - 1 - 1 - \frac{1}{2!} - \cdots - \frac{1}{q!}\right) = \frac{1}{q + 1} + \frac{1}{(q + 1)(q + 2)} + \cdots \] を得る。右辺は \(\dfrac{1}{q + 1} + \dfrac{1}{(q + 1)^{2}} + \cdots = \dfrac{1}{q}\) より小さく左辺は整数なので、これは矛盾している]

  7. \(P_{r}(n)\) で \(n\) の \(r\) 次多項式を表すとして、級数 \(\sum\limits_{0}^{\infty} P_{r}(n)\dfrac{x^{n}}{n!}\) の和を求めよ。 [\(P_{r}(n)\) を \[ A_{0} + A_{1}n + A_{2}n(n - 1) + \cdots + A_{r}n(n - 1) \cdots (n - r + 1) \] と表せば \[ \begin{aligned} \sum_{0}^{\infty} P_{r}(n) \frac{x^{n}}{n!} & = A_{0}\sum_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} + A_{1}\sum_{1}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n - 1)!} + \cdots + A_{r}\sum_{r}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n - r)!}\\ & = (A_{0} + A_{1}x + A_{2}x^{2} + \cdots + A_{r}x^{r})e^{x} \end{aligned} \] が成り立つ]

  8. 次を示せ: \[ \sum_{1}^{\infty} \frac{n^{3}}{n!} x^{n} = (x + 3x^{2} + x^{3})e^{x},\quad \sum_{1}^{\infty} \frac{n^{4}}{n!} x^{n} = (x + 7x^{2} + 6x^{3} + x^{4})e^{x} \] さらに \(S_{n} = 1^{3} + 2^{3} + \cdots + n^{3}\) なら \[ \sum_{1}^{\infty} S_{n}\frac{x^{n}}{n!} = \dfrac{1}{4}(4x + 14x^{2} + 8x^{3} + x^{4})e^{x} \] となることを示せ。特に \(x = -2\) とすれば最後の級数は \(0\) となる。

    (Math. Trip. 1904.)

  9. \(\sum \dfrac{n}{n!} = e,\ \sum \dfrac{n^{2}}{n!} = 2e,\ \sum \dfrac{n^{3}}{n!} = 5e\) を示し、正の整数 \(k\) に対する \(\sum \dfrac{n^{k}}{n!}\) が \(e\) の正の整数乗であることを証明せよ。

  10. \(\sum\limits_{1}^{\infty} \dfrac{(n - 1)x^{n}}{(n + 2)n!} = \dfrac{(x^{2} - 3x + 3)e^{x} + \frac{1}{2}x^{2} - 3}{x^{2}}\) を示せ。

    [分母と分子に \(n + 1\) を乗じれば問題 7 と同じように議論できる]

  11. \(x \to 0\) で \(\dfrac{(x + a)e^{x} + (bx + c)}{x^{3}}\) が極限に向かうような \(a,\ b,\ c\) を求めよ。関数 \(e^{x} + \dfrac{bx + c}{x + a}\) のグラフを描け。

  12. \(1 + x,\ 1 + x + \dfrac{1}{2}x^{2},\ 1 + x + \dfrac{1}{2}x^{2} + \dfrac{1}{6}x^{3}\) のグラフを描き、\(e^{x}\) のグラフと比較せよ。

  13. \(e^{-x} - 1 + x - \dfrac{x^{n}}{2!} + \cdots - (-1)^{n}\dfrac{x^{n}}{n!}\) は \(n\) の偶奇に応じて負または正だと示せ。ここから指数定理を導け。

  14. \(X_{0},\ X_{1},\ \ldots\) を \[ \begin{gathered} X_{0} = e^{x},\quad X_{1} = e^{x} - 1,\\ X_{2} = e^{x} - 1 - x,\quad X_{3} = e^{x} - 1 - x - \frac{x^{2}}{2!},\quad \ldots \end{gathered} \] と定めると \(\dfrac{dX_{\nu}}{dx} = X_{\nu-1}\) が成り立つことを示せ。ここから \(t \gt 0\) に対する不等式 \[ \begin{gathered} X_{1}(t) = \int_{0}^{t} X_{0}\, dx \lt te^{t},\\ X_{2}(t) = \int_{0}^{t} X_{1}\, dx \lt \int_{0}^{t} xe^{x}\, dx \lt e^{t} \int_{0}^{t} x\, dx = \frac{t^{2}}{2!} e^{t} \end{gathered} \] および一般に \(X_{\nu}(t) \lt \dfrac{t^{\nu}}{\nu!} e^{t}\) を示し、指数定理を導け。

  15. \(x^{2+p} = a^{2}\) の正の根を \(p\) のべき級数に展開すると、最初の項が \[ a\{1 - \dfrac{1}{2} p\log a + \dfrac{1}{8} p^{2}\log a (2 + \log a)\} \] になると示せ。

    (Math. Trip. 1909.)