§223 指数関数の値

\(\zeta = \xi + i\eta\) として \[ z = \exp \zeta = r(\cos\theta + i\sin\theta) \] を考える。このとき任意の整数 \(m\) に対して \[ \xi + i\eta = \operatorname{Log} z = \log r + i(\theta + 2m\pi) \] が成り立つ。よって \(\xi = \log r,\ \eta = \theta + 2m\pi\) であり、これは \[ r = e^{\xi},\quad \theta = \eta - 2m\pi \] を意味する。よって \[ \exp (\xi + i\eta) = e^{\xi} (\cos\eta + i\sin\eta) \] を得る。

\(\eta = 0\) なら §222 で見た通り \(\exp \xi = e^{\xi}\) となる。また明らかに、\(\exp (\xi + i\eta)\) の実部および虚部は全ての \(\xi\) と \(\eta\) に対して連続となる。



Amazon.co.jp アソシエイト (広告)
Audible の無料体験を始めよう
amazon music unlimited で音楽聞き放題
解析入門 I
軽装版 解析入門 I
定本 解析概論
ある数学者の生涯と弁明