§12 実数 \(\sqrt{2}\)

前に §4§5 で個別に考えた無理数に戻ろう。そこでは不等式 \(x^{2} \lt 2\) と \(x^{2} \gt 2\) を使って切断を構築した。この切断はもともと正の有理数だけからなっていたが、後に (§8 で) 全ての有理数からなる切断に置き換えた。こうして定義される切断あるいは実数は \(\sqrt{2}\) と表記される。

\(\sqrt{2}\) とそれ自身の積として構築されるクラスは、(i) 二乗が \(2\) より小さい正の有理数 \(a,\ a'\) に対する \((aa')\)、および (ii) 二乗が \(2\) より大きい正の有理数 \(A,\ A'\) に対する \((AA')\) からなる。これらのクラスは \(2\) 以外の全ての正の有理数を含むので、 \[ (\sqrt{2})^{2} = \sqrt{2}\sqrt{2} = 2 \]

が成り立つ。加えて \[ (-\sqrt{2})^{2} = (-\sqrt{2})(-\sqrt{2}) = \sqrt{2}\sqrt{2} = (\sqrt{2})^{2} = 2 \] も成り立つので、方程式 \(\bm{x^{2} = 2}\) には \(\bm{\sqrt{2}}\) と \(-\bm{\sqrt{2}}\) という二つの根がある。同じ議論は \(x^{2} = 3,\ x^{3} = 7,\ \ldots\) といった方程式に対応する \(\sqrt{3},\ -\sqrt{3},\ \sqrt[3]{7},\ \ldots\) に対しても同様に行える。