§200 \(\log x\) の無限大の次元が小さいことの証明

\(\beta\) を任意の正の実数とすると、\(t \gt 1\) に対して \(\dfrac{1}{t} \lt \dfrac{1}{t^{1-\beta}}\) が成り立つ。よって \[ \log x = \int_{1}^{x} \frac{dt}{t} \lt \int_{1}^{x} \frac{dt}{t^{1-\beta}} \] であり、ここから \(x \gt 1\) なら \[ \log x \lt \frac{x^{\beta} - 1}{\beta} \lt \frac{x^{\beta}}{\beta} \] だと分かる。\(\alpha\) を任意の正の実数とすれば、\(\alpha\) より小さい \(\beta\) に対して \[ 0 \lt \frac{\log x}{x^{\alpha}} \lt \frac{x^{\beta-\alpha}}{\beta} \quad (x \gt 1) \] となる。一方で \(\alpha \gt \beta\) より \(x \to \infty\) のとき \(\dfrac{x^{\beta-\alpha}}{\beta} \to 0\) だから、 \[ \frac{\log x}{x^{\alpha}} \to 0 \] が得られる。