§200 $\log x$ の無限大の次元が小さいことの証明

$\beta$ を任意の正の実数とすると、$t>1$ に対して $\frac{1}{t}<\frac{1}{t^{1-\beta }}$ が成り立つ。よって $$\log x={\int }_1^x\frac{dt}{t}<{\int }_1^x\frac{dt}{t^{1-\beta }}$$ であり、ここから $x>1$ なら $$\log x<\frac{x^{\beta }-1}{\beta }<\frac{x^{\beta }}{\beta }$$ だと分かる。$\alpha$ を任意の正の実数とすれば、$\alpha$ より小さい $\beta$ に対して $$0<\frac{\log x}{x^{\alpha }}<\frac{x^{\beta -\alpha }}{\beta }(x>1)$$ となる。一方で $\alpha >\beta$ より $x\to \infty$ のとき $\frac{x^{\beta -\alpha }}{\beta }\to 0$ だから、 $$\frac{\log x}{x^{\alpha }}\to 0$$ が得られる。