§227 サインとコサインの指数を使った表現

等式 \[ \exp (\xi + i\eta) = \exp \xi(\cos\eta + i\sin\eta) \] からは重要な公式をいくつも導出できる。\(\xi = 0\) とすると \(\exp (i\eta) = \cos\eta + i\sin\eta\) を得る。\(\eta\) の符号を変えれば \(\exp (-i\eta) = \cos\eta - i\sin\eta\) であり、ここから \[ \cos\eta = \dfrac{1}{2} \{\exp (i\eta) + \exp (-i\eta)\},\quad \sin\eta = -\dfrac{1}{2}i\{\exp (i\eta) - \exp (-i\eta)\} \] が分かる。これを使えば任意の \(\eta\) の三角比に対する \(\exp (i\eta)\) を使った表現を導ける。