§159 和の極限を使った定義による定積分の計算

§156§157 で示した定義を使って定積分を直接計算できる場合も少数だがある。一般に不定積分を使って計算した方がずっと簡単なことが多いが、いくつか例を計算すれば理解が深まるだろう。

例 64
  1. \(\displaystyle\int_{a}^{b} x\, dx\) を計算せよ。分割点 \(a = x_{0},\ x_{1},\ x_{2},\ \ldots,\ x_{n} = b\) で \([a, b]\) を \(n\) 等分し、 \[ (x_{1} - x_{0})f(x_{0}) + (x_{2} - x_{1})f(x_{1}) + \cdots + (x_{n} - x_{n-1})f(x_{n-1}) \] の \(n \to \infty\) における極限として求めること。

    [和は \[ \small \begin{aligned} & \frac{b - a}{n}\left[ a + \left(a + \frac{b - a}{n}\right) + \left(a + 2\frac{b - a}{n}\right) + \cdots + \left\{a + (n - 1)\frac{b - a}{n}\right\} \right]\\ & \quad = \frac{b - a}{n}\left[ na + \frac{b - a}{n} \{1 + 2 + \cdots + (n - 1)\} \right]\\ & \quad = (b - a)\left\{a + (b - a)\frac{n(n - 1)}{2n^{2}}\right\} \end{aligned} \] であり、\(n \to \infty\) のとき極限 \(\frac{1}{2} (b^{2} - a^{2})\) に向かう。この結果を幾何学的に確認するとよい]

  2. 同様の方法で \(\displaystyle\int_{a}^{b} x^{2}\, dx\) を計算せよ。

  3. \(\displaystyle\int_{a}^{b} x\, dx\) (\(0 \lt a \lt b\)) を計算せよ。\(r^{n} = b/a\) として \(a,\ ar,\ ar^{2},\ \ldots,\ ar^{n-1},\ ar^{n}\) という分割点で \([a, b]\) を \(n\) 個の部分に分割する方法を使うこと。

  4. 問題 1 の方法を使って \(\displaystyle\int_{a}^{b}\cos mx\, dx\) と \(\displaystyle\int_{a}^{b}\sin mx\, dx\) を計算せよ。

  5. \(n \to \infty\) で \(n\sum\limits_{r=0}^{n-1} \dfrac{1}{n^{2} + r^{2}} \to \dfrac{1}{4}\pi\) だと示せ。

    [次の等式から分かる: \[ \frac{n}{n^{2}} + \frac{n}{n^{2} + 1^{2}} + \cdots + \frac{n}{n^{2} + (n - 1)^{2}} = \sum_{r=0}^{n-1} \frac{(1/n)}{1 + (r/n)^{2}} \] 積分の直接的な定義から、\(n \to \infty\) におけるこの式の極限は \(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{dx}{1 + x^{2}}\) となる]

  6. \(\dfrac{1}{n^{2}} \sum\limits_{r=0}^{n-1} \sqrt{n^{2} - r^{2}} \to \dfrac{1}{4}\pi\) を示せ。 [左辺の極限は \(\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}}\, dx\) となる]



Amazon.co.jp アソシエイト (広告)
Audible の無料体験を始めよう
amazon music unlimited で音楽聞き放題
解析入門 I
軽装版 解析入門 I
定本 解析概論
ある数学者の生涯と弁明