§49 ド・モアブルの定理の一般形

前節の結果から、\(1\) より大きい正の整数 \(q\) に対する \((\cos\theta + i\sin\theta)^{1/q}\) の一つが \[ \cos(\theta/q) + i\sin(\theta/q) \] だと分かる。正負を問わない整数を \(p\) として両辺を \(p\) 乗すると、\((\cos\theta + i\sin\theta)^{p/q}\) の一つが \(\cos(p\theta/q) + i\sin(p\theta/q)\) となるという定理が得られる。つまり \(\bm{1}\) より大きい任意の有理数 \(\bm{\alpha}\) について、\(\bm{(\cos\theta + i\sin\theta)^{\alpha}}\) の一つは \[ \bm{\cos\alpha\theta + i\sin\alpha\theta} \] に等しい。 これはド・モアブルの定理 (§45) を一般化したものである。



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