§137 \((λ x + μ) \sqrt{ax^{2} + 2bx + c}\) の積分

全く同じやり方で \[ \begin{array}{l} \displaystyle \int(\lambda x + \mu) \sqrt{ax^{2} + 2bx + c}\, dx \\ \displaystyle \quad = \left(\frac{\lambda}{3a}\right) (ax^{2} + 2bx + c)^{3/2} + \left(\mu - \frac{\lambda b}{a}\right) \int \sqrt{ax^{2} + 2bx + c}\, dx \end{array} \] が分かる。最後の積分は次の三つのどれかに帰着される: \[ \int \sqrt{t^{2} + a^{2}}\, dt,\quad \int \sqrt{t^{2} - a^{2}}\, dt,\quad \int \sqrt{a^{2} - t^{2}}\, dt \] こういった形の積分を計算するのに便利な積分に関する一般的な定理を新たに紹介する。