§126 平均値の定理 (その 2)

中間値の定理からは次の非常に重要な結果が得られる:

とある \(x\) の区間で \(\phi'(x) = 0\) なら、その区間で \(\phi(x)\) は定数である。

\(a\) と \(b\) を区間内の二つの実数とすると \[ \phi(b) - \phi(a) = (b - a) \phi'\{a + \theta(b - a)\} = 0 \] が成り立つためである。簡単な系として、とある区間で \(\phi'(x) = \psi'(x)\) なら関数 \(\phi(x)\) と \(\psi(x)\) の差はその区間内で常に定数となることが分かる。