§143 \(\cos x\) と \(\sin x\) の有理関数の積分

\(\cos x\) と \(\sin x\) の有理関数の積分は置換 \(\tan \frac{1}{2} = t\) を使うと計算できる。等式 \[ \cos x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}},\quad \sin x = \frac{2t}{1 + t^{2}},\quad \frac{dx}{dt} = \frac{2}{1 + t^{2}} \] が成り立つので、積分は \(t\) の有理関数の積分に帰着される。

例 53
  1. 次を示せ: \[ \int \sec x\, dx = \log |\sec x + \tan x|,\quad \int \cosec x\, dx = \log |\tan \dfrac{1}{2}x| \]

  2. 次が成り立つ: \[ \begin{gathered} \int \tan x\, dx = -\log |\cos x|,\ \int \cot x\, dx = \log |\sin x|,\\ \int\sec^{2} x\, dx = \tan x,\ \int \cosec^{2} x\, dx = -\cot x,\\ \int \tan x\sec x\, dx = \sec x,\ \int \cot x \cosec x\, dx = -\cosec x \end{gathered} \]

    [積分はどれも一般的な形に含まれるが、置換を使う必要はない。§119§130 の式 \(\text{(5)}\) からすぐに分かる]

  3. \(a + b\) が正のとき、\(\dfrac{1}{a + b\cos x}\) の積分が次の形をしていると示せ: \[ \frac{2}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}} \arctan \left\{t\sqrt{\frac{a - b}{a + b}}\right\},\quad \frac{1}{\sqrt{b^{2} - a^{2}}} \log \left|\frac{\sqrt{b + a} + t\sqrt{b - a}} {\sqrt{b + a} - t\sqrt{b - a}}\right| \] ここで \(t = \tan\frac{1}{2}x\) とする。\(a^{2} \gt b^{2}\) なら前者となり、\(a^{2} \lt b^{2}\) なら後者となる。\(a^{2} = b^{2}\) なら積分は \(\sec^{2}\frac{1}{2}x\) または \(\cosec^{2}\frac{1}{2}x\) の定数倍となり、その係数は簡単に計算できる。\(a + b\) が負のときの積分の形を示せ。

  4. 次の等式で定義される \(x\) の関数 \(y\) を考える: \[ (a + b\cos x)(a - b\cos y) = a^{2} - b^{2} \] ただし \(a\) は正で \(a^{2} \gt b^{2}\) とする。このとき \(x\) が \(0\) から \(\pi\) まで動くなら、\(y\) の値の一つも \(0\) から \(\pi\) まで動くと示せ。また \[ \sin x = \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}} \sin y}{a - b\cos y},\quad \frac{\sin x}{a + b\cos x}\, \frac{dx}{dy} = \frac{\sin y}{a - b\cos y} \] であることを示し、これを使って \(0 \lt x \lt \pi\) で次の等式が成り立つと示せ: \[ \int \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}} \arccos \left(\frac{a\cos x + b}{a + b\cos x}\right) \]

    この結果が問題 3 と一致することを確かめよ。

  5. \(\dfrac{1}{a + b\cos x + c\sin x}\) の積分の計算する方法を示せ。

    [\(b\cos x + c\sin x\) を \(\sqrt{b^{2} + c^{2}} \cos(x - \alpha)\) の形で表す]

  6. \(\dfrac{a + b\cos x + c\sin x}{\alpha + \beta\cos x + \gamma\sin x}\) の積分を計算せよ。

    [次の条件が成り立つように \(\lambda,\ \mu,\ \nu\) を定める: \[ a + b\cos x + c\sin x = \lambda + \mu(\alpha + \beta\cos x + \gamma\sin x) + \nu(-\beta\sin x + \gamma\cos x) \] このとき求める積分は \[ \mu x + \nu \log |\alpha + \beta\cos x + \gamma\sin x| + \lambda \int \frac{dx}{\alpha + \beta\cos x + \gamma\sin x} \] となる]

  7. \(\dfrac{1}{a\cos^{2} x + 2b\cos x\sin x + c\sin^{2} x}\) の積分を計算せよ。

    [被積分関数は \(\dfrac{1}{A + B\cos 2x + C\sin 2x}\) と変形できる。ここで \(A = \frac{1}{2}(a + c),\ \) \(B = \frac{1}{2}(a - c),\ \) \(C = b\) である。あるいは \(\tan x = t\) と置換すれば次を得る: \[ \int \frac{\sec^{2} x\, dx}{a + 2b\tan x + c\tan^{2} x} = \int \frac{dt}{a + 2bt + ct^{2}} \]



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