§185 絶対収束する級数に対するディリクレの定理

§169 のディリクレの定理によると、正項級数の項を並べ替えても和は変わらない。絶対収束する級数もこの性質を持つことは簡単に示せる。\(\sum u_{n}\) を並び替えた級数を \(\sum u'_{n}\) として、\(u_{n}\) から \(\alpha_{n},\ v_{n},\ w_{n}\) を作ったように \(u'_{n}\) から \(\alpha'_{n},\ v'_{n},\ w'_{n}\) を作る。すると \(\sum \alpha'_{n}\) は \(\sum \alpha_{n}\) を並べ替えた級数なので収束し、\(\sum v'_{n}\) と \(\sum w'_{n}\) もそれぞれ \(\sum v_{n}\) と \(\sum w_{n}\) を並べ替えた級数だから収束する。さらにディリクレの定理から \(\sum v'_{n} = \sum v_{n}\) と \(\sum w'_{n} = \sum w_{n}\) が分かる。したがって \[ \sum u'_{n} = \sum v'_{n} - \sum w'_{n} = \sum v_{n} - \sum w_{n} = \sum u_{n} \] が成り立つ。