§135 \(1/\sqrt{ax^{2} + 2bx + c}\) の積分

\(y^{2} = ax^{2} + 2bx + c\) で \(a \gt 0\) とする。\(y + x\sqrt{a} = t\) とおけば \[ 2\frac{dx}{dt} = \frac{(t^{2} + c)\sqrt{a} + 2bt}{(t\sqrt{a} + b)^{2}},\quad 2y = \frac{(t^{2} + c)\sqrt{a} + 2bt}{t\sqrt{a} + b} \] を得る。ここから \[ \int \frac{dx}{y} = \int \frac{dt}{t\sqrt{a} + b} = \frac{1}{\sqrt{a}} \log \left|x\sqrt{a} + y + \frac{b}{\sqrt{a}}\right| \qquad \text{(1)} \] が分かる。具体的に \(a = 1,\ b = 0,\ c = a^{2}\) あるいは \(a = 1,\ b = 0,\ c = -a^{2}\) とすれば \[ \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \log \{x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}\},\quad \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} = \log |x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}| \qquad \text{(2)} \] を得る。この等式の正しさは実際に右辺を微分してみればすぐに分かる。この二つの等式は次の等式と合わせて考えるとよい: \[ \int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = \arcsin\frac{x}{a} \qquad \text{(3)} \] これは最初の一般形で \(a \lt 0\) の場合に対応する。\(\text{(3)}\) では \(a \gt 0\) が仮定されており、\(a \lt 0\) なら \(\arcsin(x/|a|)\) となる (参考: §119)。実際の積分では、一般的な積分の問題を (次節で説明される方法で) ここで示した標準形の組み合わせに変形して計算する。

\(\text{(3)}\) は \(\text{(2)}\) と大きく異なるように見える: 二つの等式の間の関係を理解するには、第十章まで読み進めなければならない。