§142 \(x^{n} \cos x\) と \(x^{n} \sin x\) の積分

部分積分を使うと上述の結果を一般化できる。等式 \[ \begin{alignedat}{3} \int x^{n}\cos x\, dx & = & & x^{n}\sin x & & - n\int x^{n-1}\sin x\, dx,\\ \int x^{n}\sin x\, dx & = & - & x^{n}\cos x & & + n\int x^{n-1}\cos x\, dx \end{alignedat} \] が成り立つから、この処理を繰り返すことで正の整数 \(n\) に対するこの積分を完全に計算できる。つまり \(\displaystyle\int x^{n}\cos ax\, dx\) と \(\displaystyle\int x^{n}\sin ax\, dx\) は \(n\) が正の整数のとき計算できる。さらに多項式 \(P\) に対する \[ \int P(x, \cos ax, \sin ax, \cos bx, \sin bx,\ \ldots)\, dx \] も同様の方法で計算できる。

例 52
  1. 関数 \[ x\sin x,\quad x^{2}\cos x,\quad x^{2}\cos^{2}x, \] \[ x^{2}\sin^{2}x \sin^{2} 2x,\quad x\sin^{2}x \cos^{4}x,\quad x^{3}\sin^{3}\frac{1}{3}x \] の積分を計算せよ。

  2. 次の条件を満たす多項式 \(P,\ Q\) を求めよ: \[ \int\{(3x - 1)\cos x + (1 - 2x)\sin x\}\, dx = P\cos x + Q\sin x \]

  3. \(\displaystyle\int x^{n}\cos x\, dx = P_{n}\cos x + Q_{n}\sin x\) を示せ。ここで \[ \begin{aligned} P_{n} & = nx^{n-1} - n(n - 1)(n - 2) x^{n-3} + \cdots,\\ Q_{n} & = x^{n} - n(n - 1) x^{n-2} + \cdots \end{aligned} \] とする。