§73 \((1 + \frac{1}{n})^{n}\) の極限

§69 の定理を使うと \(\displaystyle \phi(n) = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}\) に関するより難しい問題を解くことができる。

二項定理1から次が分かる: \[ \begin{gathered} \begin{aligned} \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^{n} & = 1 + n · \frac{1}{n} + \frac{n(n - 1)}{1·2}\, \frac{1}{n^{2}} + \cdots + \frac{n(n - 1)\cdots (n - n + 1)}{1·2\cdots n}\, \frac{1}{n^{n}}\\ & = 1 + 1 + \frac{1}{1·2} \biggl(1 - \frac{1}{n}\biggr) + \frac{1}{1·2·3} \biggl(1 - \frac{1}{n}\biggr) \biggl(1- \frac{2}{n}\biggr) + \cdots\\ \end{aligned} \\ {} + \frac{1}{1·2\cdots n} \biggl(1 - \frac{1}{n}\biggr) \biggl(1 - \frac{2}{n}\biggr)\cdots \biggl(1 - \frac{n - 1}{n}\biggr) \end{gathered} \]

この式の第 \(p + 1\) 項 \[ \frac{1}{1·2\cdots p} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right)\cdots \left(1 - \frac{p - 1}{n}\right) \] は正であり、\(n\) の単調増加関数と分かる。項数は \(n\) と共に増えるので \(\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n}\) は \(n\) と共に増加し、\(n \to \infty\) のとき極限または \(+\infty\) に向かう。

しかし \[ \begin{aligned} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} & \lt 1 + 1 + \frac{1}{1·2} + \frac{1}{1·2·3} + \cdots + \frac{1}{1·2·3 \cdots n}\\ & \lt 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} \lt 3 \end{aligned} \] が成り立つ。

よって \(\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n}\) は \(+\infty\) に向かわない。つまり \[ \lim_{n \to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e \] であり、\(e\) は \(2 \lt e \leq 3\) を満たす。


  1. ここで使われている指数が正の整数のときの二項定理は初等代数の定理である。その他の場合の二項定理には無限級数の理論が必要であり、後で触れる。[return]



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