§230 \(\cos(ξ + iη)\) や \(\sin(ξ + iη)\) に関する公式

加法定理から \[ \begin{alignedat}{4} \cos (\xi + i\eta) & = \cos\xi \cos i\eta & & - \sin\xi \sin i\eta & & = \cos\xi \cosh \eta & & - i\sin\xi \sinh \eta,\\ \sin (\xi + i\eta) & = \sin\xi \cos i\eta & & + \cos\xi \sin i\eta & & = \sin\xi \cosh \eta & & + i\cos\xi \sinh \eta \end{alignedat} \] が分かる。この等式は全ての \(\xi\) と \(\eta\) に関して成り立つ。興味深いのは \(\xi\) と \(\eta\) が実数の場合で、このとき複素数に対する三角関数の実部と虚部を示す公式が得られる。

例 95
  1. \(\cos\zeta\) と \(\sin\zeta\) が実数あるいは純虚数となる \(\zeta\) の値を求めよ。 [例えば \(\cos \zeta\) が実数になるのは \(\eta = 0\) または \(\xi\) が \(\pi\) の倍数のときである]

  2. 次が成り立つ: \[ \begin{alignedat}{2} \left|\cos (\xi + i\eta) \right| & = \sqrt{\cos^{2} \xi + \sinh^{2} \eta} & & = \sqrt{\dfrac{1}{2} (\cosh 2\eta + \cos 2\xi)}, \\ \left|\sin (\xi + i\eta) \right| & = \sqrt{\sin^{2} \xi + \sinh^{2} \eta} & & = \sqrt{\dfrac{1}{2} (\cosh 2\eta - \cos 2\xi)} \end{alignedat} \] [等式 \(\left|\cos(\xi + i\eta)\right| = \sqrt{\cos(\xi + i\eta) \cos(\xi - i\eta)}\) などを使う]

  3. 次が成り立つ: \[ \tan (\xi + i \eta) = \dfrac{\sin 2\xi + i\sinh 2\eta}{\cosh 2\eta + \cos 2\xi},\quad \cot (\xi + i \eta) = \dfrac{\sin 2\xi - i\sinh 2\eta}{\cosh 2\eta - \cos 2\xi} \]

    [例えば \[ \tan (\xi + i\eta) = \frac{\sin (\xi + i\eta) \cos (\xi - i\eta)} {\cos (\xi + i\eta) \cos (\xi - i\eta)} = \frac{\sin 2\xi + \sin 2i\eta}{\cos 2\xi + \cos 2i\eta} \] を使えば結果が直ちに得られる]

  4. 次が成り立つ: \[ \begin{aligned} \sec (\xi + i \eta) & = \frac{\cos\xi \cosh\eta + i\sin\xi \sinh\eta} {\frac{1}{2} (\cosh 2\eta + \cos 2\xi)}, \\ \cosec (\xi + i \eta) & = \frac{\sin\xi \cosh\eta - i\cos\xi \sinh\eta} {\frac{1}{2} (\cosh 2\eta - \cos 2\xi)} \end{aligned} \]

  5. \(|\cos (\xi + i\eta)| = 1\) なら \(\sin^{2} \xi = \sinh^{2} \eta\) が成り立つ。また \(|\sin (\xi + i\eta)| = 1\) なら \(\cos^{2} \xi = \sinh^{2} \eta\) が成り立つ。

  6. \(|\cos (\xi + i\eta)| = 1\) なら次が成り立つ: \[ \sin \{\arg \cos (\xi + i\eta)\} = ±\sin^{2} \xi = ±\sinh^{2} \eta \]

  7. \(\operatorname{Log} \cos (\xi + i\eta) = A + iB\) を示せ。ここで \[ A = \dfrac{1}{2} \log \{\dfrac{1}{2} (\cosh 2\eta + \cos 2\xi)\} \] であり、\(B\) は次の条件を満たすとする: \[ \frac{\cos B}{\cos\xi \cosh\eta} = -\frac{\sin B}{\sin\xi \sinh\eta} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} (\cosh 2\eta + \cos 2\xi)}} \] \(\operatorname{Log} \sin (\xi + i\eta)\) に対する同様の等式を求めよ。

  8. 方程式 \(\bm{\cos \zeta = a}\) (\(\bm{a}\) は実数): \(\zeta = \xi + i\eta\) として実部と虚部をそれぞれ比較すれば次を得る: \[ \cos\xi \cosh\eta = a,\quad \sin\xi \sinh\eta = 0 \] よって \(\eta = 0\) または \(\xi\) が \(\pi\) の倍数となる。\(\eta = 0\) なら \(\cos \xi = a\) だから、\(-1 \leq a \leq 1\) のときに限って解 \[ \zeta = 2k\pi ± \arccos a \] を得る。ここで \(\arccos a\) は \(0\) から \(\frac{1}{2}\pi\) の値を取るとする。\(\xi = m\pi\) なら \(\cosh\eta = (-1)^{m}a\) だから、\(a \geq 1\) で \(m\) が偶数か、\(a \leq -1\) で \(m\) が奇数かである。\(a = ± 1\) なら \(\eta = 0\) となって一つ目の場合に帰着される。\(|a| \gt 1\) なら \(\cosh \eta = |a|\) であり、解は \[ \begin{alignedat}{4} \zeta & =& 2k & \pi ± i\log \{ & & a + \sqrt{a^{2} - 1}\}\quad & & (a \gt 1), \\ \zeta & =& (2k + 1) & \pi ± i\log \{-& & a + \sqrt{a^{2} - 1}\}\quad & & (a \lt -1) \end{alignedat} \] となる。例えば \(\cos\zeta = -\frac{5}{3}\) の解は \(\zeta = (2k + 1)\pi ± i\log 3\) となる。

  9. 方程式 \(\sin\zeta = \alpha\) を解け。\(\alpha\) は実数とする。

  10. 方程式 \(\bm{\cos\zeta = \alpha + i\beta}\) (\(\bm{\beta \neq 0}\)): \(\beta \lt 0\) に対する結果は \(i\) の符号を変えれば得られるので、\(\beta \gt 0\) の場合だけを考えればよい。すると \[ \cos\xi \cosh\eta = \alpha,\quad \sin\xi \sinh\eta = -\beta \qquad \text{(1)} \] であり、ここから次が分かる: \[ (\alpha/\cosh\eta)^{2} + (\beta/\sinh\eta)^{2} = 1 \]

    \(\cosh^{2} \eta = x\) とすれば \[ x^{2} - (1 + \alpha^{2} + \beta^{2})x + \alpha^{2} = 0 \] が成り立つから、 \[ A_{1} = \dfrac{1}{2}\sqrt{(\alpha + 1)^{2} + \beta^{2}},\quad A_{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{(\alpha - 1)^{2} + \beta^{2}} \] とすれば \(x = (A_{1} ± A_{2})^{2}\) を得る。\(\alpha \gt 0\) と仮定する。このとき \(A_{1} \gt A_{2} \gt 0\) および \(\cosh\eta = A_{1} ± A_{2}\) だから \[ \cos\xi = \alpha/(\cosh\eta) = A_{1} \mp A_{2} \] が成り立つ。加えて \(\cosh\eta \gt \cos\xi\) だから \[ \cosh\eta = A_{1} + A_{2},\quad \cos\xi = A_{1} - A_{2} \] が分かる。この方程式の一般解は \[ \xi = 2k\pi ± \arccos M,\quad \eta = ±\log \{L + \sqrt{L^{2} - 1}\} \qquad \text{(2)} \] である。ここで \(L = A_{1} + A_{2},\ M = A_{1} - A_{2}\) で、\(\arccos M\) は \(0\) と \(\frac{1}{2}\pi\) の間とする。

    しかしこうして求まる \(\eta\) と \(\xi\) の式は、方程式 \(\text{(1)}\) の解だけではなく \[ \cos\xi \cosh\eta = \alpha,\quad \sin\xi \sinh\eta = \beta \qquad \text{(3)} \] の解も表している。二乗した後の式しか使っていないためである。二つの解を区別するには、\(\sin \xi\) の符号が \(\text{(2)}\) の一つ目の式にある曖昧な符号と同じで、\(\sinh\eta\) の符号が二つ目の式の曖昧な符号と同じなことを利用する。\(\beta \gt 0\) だから、この二つの符号は異なる。よって一般解は \[ \zeta = 2k\pi ± [\arccos M - i\log \{L + \sqrt{L^{2} - 1}\}] \] となる。

  11. \(\alpha \lt 0\) および \(\alpha = 0\) の場合を同様に解け。

  12. \(\beta = 0\) なら \(L = \frac{1}{2}|\alpha + 1| + \frac{1}{2}|\alpha - 1|\) および \(M = \frac{1}{2}|\alpha + 1| - \frac{1}{2}|\alpha - 1|\) が成り立つ。この結果が問題 8 と矛盾しないことを示せ。

  13. \(\alpha\) と \(\beta\) が両方とも正のとき、\(\sin\zeta = \alpha + i\beta\) の一般解が \[ \zeta = k\pi +(-1)^{k} [\arcsin M + i\log \{L + \sqrt{L^{2} - 1}\}] \] だと示せ。\(\arcsin M\) は \(0\) と \(\frac{1}{2}\pi\) の間の値を取るとする。他の可能な場合についても解を求めよ。

  14. \(\tan \zeta = \alpha\) を解け。\(\alpha\) は実数とする。 [全ての根は実数である]

  15. \(\beta \neq 0\) とする。\(\tan \zeta = \alpha + i\beta\) の一般解が \[ \zeta = k\pi + \dfrac{1}{2}\theta + \dfrac{1}{4} i\log\left\{ \frac{\alpha^{2} + (1 + \beta)^{2}} {\alpha^{2} + (1 - \beta)^{2}} \right\} \] だと示せ。\(\theta\) は次の等式を満たす絶対値が最小の角度とする: \[ \cos \theta : \sin \theta : 1 = 1 - \alpha^{2} - \beta^{2} : 2\alpha : \sqrt{(1 - \alpha^{2} - \beta^{2})^{2} + 4\alpha^{2}} \]

  16. \(\xi\) と \(c\) を実数とする。\(z = \xi\exp(\frac{1}{4}\pi i)\) のとき \(\cos 2\pi z - \cos 2\pi c\) の絶対値が \[ \begin{aligned} \surd[\dfrac{1}{2}\{1 + \cos 4\pi c + \cos(2\pi\xi\sqrt{2}) & + \cosh(2\pi\xi\sqrt{2}) \\ & - 4\cos 2\pi c \cos(\pi\xi\sqrt{2}) \cosh(\pi\xi\sqrt{2})\}] \end{aligned} \] だと示せ。

  17. 次を示せ: \[ \begin{aligned} |\exp \exp(\xi + i\eta)| &= \exp(\exp\xi \cos\eta), \\ \operatorname{Re} \{\cos\cos(\xi + i\eta)\} & = \cos(\cos\xi \cosh\eta) \cosh(\sin\xi \sinh\eta),\\ \operatorname{Im} \{\sin\sin(\xi + i\eta)\} & = \cos(\sin\xi \cosh\eta) \sinh(\cos\xi \sinh\eta) \end{aligned} \]

  18. 原点を通る直線で \(x\) 軸正方向との角度が \(\frac{1}{2}\pi\) 以下のものを考える。この直線上を \(\zeta\) が無限遠に向かって進むとき、\(|\exp \zeta|\) が \(\infty\) に向かうと示せ。また \(x\) 軸正方向との角度が \(\frac{1}{2}\pi\) 以上なら同じ式が \(0\) に向かうと示せ。

  19. 原点を通る実軸でない任意の直線上を \(\zeta\) が無限遠に向かって進むとき、 \(|\cos \zeta|\) と \(|\sin \zeta|\) が \(\infty\) に向かうと示せ。

  20. 問題 19 の直線上を \(\zeta\) が無限遠に向かって進むとき、\(\tan \zeta\) は \(-i\) あるいは \(i\) に向かうと示せ。たどる直線が実軸の上方にあるなら \(-i\) に向かい、実軸の下方にあるなら \(i\) に向かう。