§230 \(\cos(ξ + iη)\) や \(\sin(ξ + iη)\) に関する公式

\(\cos\zeta\) と \(\sin\zeta\) が実数あるいは純虚数となる \(\zeta\) の値を求めよ。 [例えば \(\cos \zeta\) が実数になるのは \(\eta = 0\) または \(\xi\) が \(\pi\) の倍数のときである]

次が成り立つ: \[ \begin{alignedat}{2} \left|\cos (\xi + i\eta) \right| & = \sqrt{\cos^{2} \xi + \sinh^{2} \eta} & & = \sqrt{\dfrac{1}{2} (\cosh 2\eta + \cos 2\xi)}, \\ \left|\sin (\xi + i\eta) \right| & = \sqrt{\sin^{2} \xi + \sinh^{2} \eta} & & = \sqrt{\dfrac{1}{2} (\cosh 2\eta - \cos 2\xi)} \end{alignedat} \] [等式 \(\left|\cos(\xi + i\eta)\right| = \sqrt{\cos(\xi + i\eta) \cos(\xi - i\eta)}\) などを使う]

次が成り立つ: \[ \tan (\xi + i \eta) = \dfrac{\sin 2\xi + i\sinh 2\eta}{\cosh 2\eta + \cos 2\xi},\quad \cot (\xi + i \eta) = \dfrac{\sin 2\xi - i\sinh 2\eta}{\cosh 2\eta - \cos 2\xi} \]

[例えば \[ \tan (\xi + i\eta) = \frac{\sin (\xi + i\eta) \cos (\xi - i\eta)} {\cos (\xi + i\eta) \cos (\xi - i\eta)} = \frac{\sin 2\xi + \sin 2i\eta}{\cos 2\xi + \cos 2i\eta} \] を使えば結果が直ちに得られる]

次が成り立つ: \[ \begin{aligned} \sec (\xi + i \eta) & = \frac{\cos\xi \cosh\eta + i\sin\xi \sinh\eta} {\frac{1}{2} (\cosh 2\eta + \cos 2\xi)}, \\ \cosec (\xi + i \eta) & = \frac{\sin\xi \cosh\eta - i\cos\xi \sinh\eta} {\frac{1}{2} (\cosh 2\eta - \cos 2\xi)} \end{aligned} \]

\(|\cos (\xi + i\eta)| = 1\) なら \(\sin^{2} \xi = \sinh^{2} \eta\) が成り立つ。また \(|\sin (\xi + i\eta)| = 1\) なら \(\cos^{2} \xi = \sinh^{2} \eta\) が成り立つ。

\(|\cos (\xi + i\eta)| = 1\) なら次が成り立つ: \[ \sin \{\arg \cos (\xi + i\eta)\} = ±\sin^{2} \xi = ±\sinh^{2} \eta \]

\(\operatorname{Log} \cos (\xi + i\eta) = A + iB\) を示せ。ここで \[ A = \dfrac{1}{2} \log \{\dfrac{1}{2} (\cosh 2\eta + \cos 2\xi)\} \] であり、\(B\) は次の条件を満たすとする: \[ \frac{\cos B}{\cos\xi \cosh\eta} = -\frac{\sin B}{\sin\xi \sinh\eta} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} (\cosh 2\eta + \cos 2\xi)}} \] \(\operatorname{Log} \sin (\xi + i\eta)\) に対する同様の等式を求めよ。

方程式 \(\bm{\cos \zeta = a}\) (\(\bm{a}\) は実数): \(\zeta = \xi + i\eta\) として実部と虚部をそれぞれ比較すれば次を得る: \[ \cos\xi \cosh\eta = a,\quad \sin\xi \sinh\eta = 0 \] よって \(\eta = 0\) または \(\xi\) が \(\pi\) の倍数となる。\(\eta = 0\) なら \(\cos \xi = a\) だから、\(-1 \leq a \leq 1\) のときに限って解 \[ \zeta = 2k\pi ± \arccos a \] を得る。ここで \(\arccos a\) は \(0\) から \(\frac{1}{2}\pi\) の値を取るとする。\(\xi = m\pi\) なら \(\cosh\eta = (-1)^{m}a\) だから、\(a \geq 1\) で \(m\) が偶数か、\(a \leq -1\) で \(m\) が奇数かである。\(a = ± 1\) なら \(\eta = 0\) となって一つ目の場合に帰着される。\(|a| \gt 1\) なら \(\cosh \eta = |a|\) であり、解は \[ \begin{alignedat}{4} \zeta & =& 2k & \pi ± i\log \{ & & a + \sqrt{a^{2} - 1}\}\quad & & (a \gt 1), \\ \zeta & =& (2k + 1) & \pi ± i\log \{-& & a + \sqrt{a^{2} - 1}\}\quad & & (a \lt -1) \end{alignedat} \] となる。例えば \(\cos\zeta = -\frac{5}{3}\) の解は \(\zeta = (2k + 1)\pi ± i\log 3\) となる。

方程式 \(\sin\zeta = \alpha\) を解け。\(\alpha\) は実数とする。

方程式 \(\bm{\cos\zeta = \alpha + i\beta}\) (\(\bm{\beta \neq 0}\)): \(\beta \lt 0\) に対する結果は \(i\) の符号を変えれば得られるので、\(\beta \gt 0\) の場合だけを考えればよい。すると \[ \cos\xi \cosh\eta = \alpha,\quad \sin\xi \sinh\eta = -\beta \qquad \text{(1)} \] であり、ここから次が分かる: \[ (\alpha/\cosh\eta)^{2} + (\beta/\sinh\eta)^{2} = 1 \]

\(\cosh^{2} \eta = x\) とすれば \[ x^{2} - (1 + \alpha^{2} + \beta^{2})x + \alpha^{2} = 0 \] が成り立つから、 \[ A_{1} = \dfrac{1}{2}\sqrt{(\alpha + 1)^{2} + \beta^{2}},\quad A_{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{(\alpha - 1)^{2} + \beta^{2}} \] とすれば \(x = (A_{1} ± A_{2})^{2}\) を得る。\(\alpha \gt 0\) と仮定する。このとき \(A_{1} \gt A_{2} \gt 0\) および \(\cosh\eta = A_{1} ± A_{2}\) だから \[ \cos\xi = \alpha/(\cosh\eta) = A_{1} \mp A_{2} \] が成り立つ。加えて \(\cosh\eta \gt \cos\xi\) だから \[ \cosh\eta = A_{1} + A_{2},\quad \cos\xi = A_{1} - A_{2} \] が分かる。この方程式の一般解は \[ \xi = 2k\pi ± \arccos M,\quad \eta = ±\log \{L + \sqrt{L^{2} - 1}\} \qquad \text{(2)} \] である。ここで \(L = A_{1} + A_{2},\ M = A_{1} - A_{2}\) で、\(\arccos M\) は \(0\) と \(\frac{1}{2}\pi\) の間とする。

しかしこうして求まる \(\eta\) と \(\xi\) の式は、方程式 \(\text{(1)}\) の解だけではなく \[ \cos\xi \cosh\eta = \alpha,\quad \sin\xi \sinh\eta = \beta \qquad \text{(3)} \] の解も表している。二乗した後の式しか使っていないためである。二つの解を区別するには、\(\sin \xi\) の符号が \(\text{(2)}\) の一つ目の式にある曖昧な符号と同じで、\(\sinh\eta\) の符号が二つ目の式の曖昧な符号と同じなことを利用する。\(\beta \gt 0\) だから、この二つの符号は異なる。よって一般解は \[ \zeta = 2k\pi ± [\arccos M - i\log \{L + \sqrt{L^{2} - 1}\}] \] となる。

\(\alpha \lt 0\) および \(\alpha = 0\) の場合を同様に解け。

\(\beta = 0\) なら \(L = \frac{1}{2}|\alpha + 1| + \frac{1}{2}|\alpha - 1|\) および \(M = \frac{1}{2}|\alpha + 1| - \frac{1}{2}|\alpha - 1|\) が成り立つ。この結果が問題 8 と矛盾しないことを示せ。

\(\alpha\) と \(\beta\) が両方とも正のとき、\(\sin\zeta = \alpha + i\beta\) の一般解が \[ \zeta = k\pi +(-1)^{k} [\arcsin M + i\log \{L + \sqrt{L^{2} - 1}\}] \] だと示せ。\(\arcsin M\) は \(0\) と \(\frac{1}{2}\pi\) の間の値を取るとする。他の可能な場合についても解を求めよ。

\(\tan \zeta = \alpha\) を解け。\(\alpha\) は実数とする。 [全ての根は実数である]

\(\beta \neq 0\) とする。\(\tan \zeta = \alpha + i\beta\) の一般解が \[ \zeta = k\pi + \dfrac{1}{2}\theta + \dfrac{1}{4} i\log\left\{ \frac{\alpha^{2} + (1 + \beta)^{2}} {\alpha^{2} + (1 - \beta)^{2}} \right\} \] だと示せ。\(\theta\) は次の等式を満たす絶対値が最小の角度とする: \[ \cos \theta : \sin \theta : 1 = 1 - \alpha^{2} - \beta^{2} : 2\alpha : \sqrt{(1 - \alpha^{2} - \beta^{2})^{2} + 4\alpha^{2}} \]

\(\xi\) と \(c\) を実数とする。\(z = \xi\exp(\frac{1}{4}\pi i)\) のとき \(\cos 2\pi z - \cos 2\pi c\) の絶対値が \[ \begin{aligned} \surd[\dfrac{1}{2}\{1 + \cos 4\pi c + \cos(2\pi\xi\sqrt{2}) & + \cosh(2\pi\xi\sqrt{2}) \\ & - 4\cos 2\pi c \cos(\pi\xi\sqrt{2}) \cosh(\pi\xi\sqrt{2})\}] \end{aligned} \] だと示せ。

次を示せ: \[ \begin{aligned} |\exp \exp(\xi + i\eta)| &= \exp(\exp\xi \cos\eta), \\ \operatorname{Re} \{\cos\cos(\xi + i\eta)\} & = \cos(\cos\xi \cosh\eta) \cosh(\sin\xi \sinh\eta),\\ \operatorname{Im} \{\sin\sin(\xi + i\eta)\} & = \cos(\sin\xi \cosh\eta) \sinh(\cos\xi \sinh\eta) \end{aligned} \]

原点を通る直線で \(x\) 軸正方向との角度が \(\frac{1}{2}\pi\) 以下のものを考える。この直線上を \(\zeta\) が無限遠に向かって進むとき、\(|\exp \zeta|\) が \(\infty\) に向かうと示せ。また \(x\) 軸正方向との角度が \(\frac{1}{2}\pi\) 以上なら同じ式が \(0\) に向かうと示せ。

原点を通る実軸でない任意の直線上を \(\zeta\) が無限遠に向かって進むとき、 \(|\cos \zeta|\) と \(|\sin \zeta|\) が \(\infty\) に向かうと示せ。

問題 19 の直線上を \(\zeta\) が無限遠に向かって進むとき、\(\tan \zeta\) は \(-i\) あるいは \(i\) に向かうと示せ。たどる直線が実軸の上方にあるなら \(-i\) に向かい、実軸の下方にあるなら \(i\) に向かう。