§92 連続関数の単調増加と単調減少

§69 に対応する定義を次に示す: \(x_{2} \gt x_{1}\) のとき常に \(\phi(x_{2}) \geq \phi(x_{1})\) なら、\(\phi(x)\) は単調増加だと言う。この条件が成り立つのがある \(x\) から後ろ、つまり \(x_{2} \gt x_{1} \geq x_{0}\) でのみという場合も多くある。§69 で示した定理は \(n\) を \(x\) に変えれば成り立ち、証明も言葉遣いを調整すれば同様となる。

\(x_{2} \gt x_{1}\) のとき常に \(\phi(x_{2}) \gt \phi(x_{1})\) で等号が成り立たないなら、\(\phi(x)\) は 狭義単調増加 (steadily increasing in the stricter sense) だと言う。この区別が重要になることもある (例えば §108§109 )。

関数 \(x^{2} - x,\ x + \sin x,\ x + 2\sin x,\ x^{2} + 2\sin x,\ [x],\ [x] + \sin x\), \([x] + \sqrt{x - [x]}\) のそれぞれについて、\(x\) について単調増加かどうか (またはある \(x\) から後ろで単調増加か) を考えてみるとよい。これらの関数は全て \(x \to \infty\) のとき \(\infty\) に向かう。



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