§136 \((λ x + μ)/\sqrt{ax^{2} + 2bx + c}\) の積分

これまでの結果を使えば、全ての場合についてこの積分を計算できる。次のように議論するのが最も分かりやすいだろう。 \[ \begin{gathered} \lambda x + \mu = \frac{\lambda}{a} (ax + b) + \mu - \frac{\lambda b}{a},\quad \int \frac{ax + b}{\sqrt{ax^{2} + 2bx + c}}\, dx = \sqrt{ax^{2} + 2bx + c} \end{gathered} \] から次の等式が分かる: \[ \int \frac{(\lambda x + \mu)\, dx}{\sqrt{ax^{2} + 2bx + c}} = \frac{\lambda}{a} \sqrt{ax^{2} + 2bx + c} + \left(\mu - \frac{\lambda b}{a}\right) \int \frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + 2bx + c}} \]

最後の積分では \(a\) が正にも負にもなる。\(a\) が正なら、\(x\sqrt{a} + (b/\sqrt{a}) = t\) とすれば \[ \frac{1}{\sqrt{a}} \int \frac{dt}{\sqrt{t^{2} + \kappa}} \] を得る。ここで \(\kappa = (ac - b^{2})/a\) である。\(a\) が負なら、\(A = -a\) として \(x\sqrt{A} - (b/\sqrt{A}) = t\) とすれば次を得る: \[ \frac{1}{\sqrt{-a}}\int \frac{dt}{\sqrt{-\kappa - t^{2}}} \]

よっていずれの場合でも、\(\displaystyle \frac{\lambda x + \mu}{\sqrt{ax^{2} + 2bx + c}}\) 積分の計算は §135 で考えた積分の計算に帰着でき、さらにそれは次の三つのどれかに帰着される: \[ \int \frac{dt}{\sqrt{t^{2} + a^{2}}},\quad \int \frac{dt}{\sqrt{t^{2} - a^{2}}},\quad \int \frac{dt}{\sqrt{a^{2} - t^{2}}} \]



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