§101 連続関数の性質 (その 2)

この節では連続関数に関する定理をさらにいくつか示す。

\(\phi(x)\) が \(x = \xi\) で連続とする。\(\phi(\xi)\) が正なら、区間 \([\xi - \delta, \xi + \delta]\) 全体で \(\phi(x)\) が正となるように正の実数 \(\delta\) を選べる。

証明は次の通り。連続性の定義における不等式で \(\varepsilon = \frac{1}{2}\phi(\xi)\) とすれば、ある \(\delta\) があって \[ |\phi(x) - \phi(\xi)| \lt \dfrac{1}{2}\phi(\xi) \] が \([\xi - \delta, \xi + \delta]\) で成り立つ。このとき \[ \phi(x) \geq \phi(\xi) - |\phi(x) - \phi(\xi)| \gt \dfrac{1}{2}\phi(\xi) \gt 0 \] だから、\(\phi(x)\) は正と分かる。\(\phi(x)\) が負のときにも同様の定理が成り立つ。

\(x = \xi\) で \(\phi(x)\) が連続とする。\(x\) を \(\xi\) に近づけることで \(\phi(x)\) の絶対値を好きなだけ小さくできるなら \(\phi(\xi) = 0\) となる。また \(\xi\) を含んだどれだけ小さい区間を考えても \(\phi(x)\) が正と負の値の両方を取るときも \(\phi(\xi) = 0\) となる。

これは一つ前の定理の系と言える。\(\phi(\xi) \neq 0\) なら \(\phi(\xi)\) は正または負となる。例えば正とすると \(\xi\) に十分近い全ての \(x\) で \(\phi(x)\) が正となるが、これは仮定に反する。