§119 超越関数の微分

  1. 超越関数: 例 39.4 では \[ D_{x} \sin x = \cos x, \quad D_{x} \cos x = -\sin x \] が成り立つことを見た。

    また §113 の結果 4 と 5 を使えば \[ \begin{alignedat}{2} D_{x} \tan x & = \sec^{2} x, & D_{x} \cot x & = -\cosec^{2} x,\\ D_{x} \sec x & = \tan x \sec x, \quad & D_{x} \cosec x & = -\cot x\cosec x. \end{alignedat} \] を容易に確認できる。さらに結果 7 からは初等三角関数の逆関数の導関数が分かる。次の結果が得られるだろう: \[ \begin{alignedat}{2} D_{x} \arcsin x & = ±\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, & D_{x} \arccos x & = \mp \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}},\\ D_{x} \arctan x & = \frac{1}{1 + x^{2}}, & D_{x} \text{arccot } x & = -\frac{1}{1 + x^{2}},\\ D_{x} \text{arcsec } x & = ± \frac{1}{x\sqrt{x^{2} - 1}}, \quad & D_{x} \text{arccosec } x & = \mp \frac{1}{x\sqrt{x^{2} - 1}} \end{alignedat} \] ここでサインとコセカントの逆関数の符号は \(\cos(\arcsin x)\) と同じように取り、サインとセカントの逆関数の符号は \(\sin(\arccos x)\) と同じように取る。

    さらに一般化した公式 \[ D_{x} \arcsin\frac{x}{a} = ±\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}},\quad D_{x} \arctan\frac{x}{a} = \frac{a}{x^{2} + a^{2}} \] も非常に重要であり、これは §113 の結果 7 を使って容易に導ける。ただし最初の式では符号を \(a\cos\{\arcsin(x/a)\}\) と同じように取る。なぜなら \[ a\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} = ±\sqrt{a^{2} - x^{2}} \] の符号が \(a\) の符号と一致するからである。

例 44

この例では \(m\) が有理数で、\(a,\ b,\ \ldots,\ \alpha,\ \beta,\ \ldots\) は考えている関数が実数になる値とする。

  1. 次の関数の導関数を求めよ: \[ \begin{gathered} \cos^{m} x, \quad \sin^{m} x, \quad \cos x^{m}, \\ \sin x^{m}, \quad \cos (\sin x), \quad \sin (\cos x),\\ \sqrt{a^{2}\cos^{2} x + b^{2}\sin^{2} x}, \quad \frac{\cos x\sin x}{\sqrt{a^{2}\cos^{2} x + b^{2}\sin^{2} x}},\\ x\arcsin x + \sqrt{1 - x^{2}}, \quad (1 + x)\arctan\sqrt{x} - \sqrt{x} \end{gathered} \]

  2. \(0\) から \(1\) の \(x\) に対して \(\arcsin x + \arccos x\) が定数であること、および全ての \(x\) に対して \(\text{arctan } x + \text{arccot } x\) が定数であることを微分を使って確かめよ。

  3. 次の関数の導関数を求めよ: \[ \arcsin\sqrt{1 - x^{2}},\quad \arcsin\{2x\sqrt{1 - x^{2}}\},\quad \arctan \left(\frac{a + x}{1 - ax}\right) \] 答えの単純さをどう説明できるか?

  4. 次の関数を微分せよ: \[ \frac{1}{\sqrt{ac - b^{2}}} \arctan \frac{ax + b}{\sqrt{ac - b^{2}}},\quad -\frac{1}{\sqrt{-a}} \arcsin\frac{ax + b}{\sqrt{b^{2} - ac}} \]

  5. 関数 \[ 2\arcsin \sqrt{\frac{x - \beta}{\alpha - \beta}},\quad 2\arctan \sqrt{\frac{x - \beta}{\alpha - x}},\quad \arcsin \frac{2\sqrt{(\alpha - x)(x - \beta)}}{\alpha - \beta} \] がどれも \[ \frac{1}{\sqrt{(\alpha - x)(x - \beta)}} \] を導関数に持つことを示せ。

  6. 次を示せ: \[ \frac{d}{d\theta}\left\{ \arccos \sqrt{\frac{\cos 3\theta}{\cos^{3}\theta}} \right\} = \sqrt{\frac{3}{\cos\theta \cos 3\theta}} \]

    (Math. Trip. 1904.)

  7. 次を示せ: \[ \frac{1}{\sqrt{C(Ac - aC)}}\, \frac{d}{dx} \left[ \arccos \sqrt{\frac{C(ax^{2} + c)}{c(Ax^{2} + C)}} \right] = \frac{1}{(Ax^{2} + C) \sqrt{ax^{2} + c}} \]

  8. 関数 \[ \frac{1}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}} \arccos \left(\frac{a\cos x + b}{a + b\cos x}\right),\quad \frac{2}{\sqrt{a^{2} - b^{2}}} \arctan \left\{\sqrt{\frac{a - b}{a + b }} \tan \dfrac{1}{2}x\right\} \] はどちらも \(\dfrac{1}{a + b\cos x}\) を導関数に持つ。

  9. \(X = a + b\cos x + c\sin x\) で \[ y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - b^{2} -c^{2}}} \arccos \frac{aX - a^{2} + b^{2} + c^{2}}{X \sqrt{b^{2} + c^{2}}} \] なら \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{X}\) が成り立つ。

  10. \(F[f\{\phi(x)\}]\) の導関数が \(F'[f\{\phi(x)\}]\, f'\{\phi(x)\}\phi'(x)\) だと示せ。この結果をさらに複雑なケースに拡張せよ。

  11. \(u\) と \(v\) が \(x\) の関数なら次の等式が成り立つ: \[ D_{x} \arctan\frac{u}{v} = \frac{vD_{x}u - uD_{x}v}{u^{2} + v^{2}} \]

  12. \(y = (\tan x + \sec x)^{m}\) の導関数は \(my\sec x\) である。

  13. \(y = \cos x + i\sin x\) の導関数は \(iy\) である。

  14. \(x\cos x\) と \((\sin x)/x\) を微分せよ。曲線 \(y = x\cos x\) と \(y = (\sin x)/x\) の接線が \(x\) 軸と平行になる \(x\) はそれぞれ \(\cot x = x\) と \(\tan x = x\) の根だと示せ。

  15. 実数 \(a\) が \(a \geq 1\) を満たすなら、方程式 \(\sin x = ax\) は \(x = 0\) 以外の解を持たない。また \(a \lt 1\) なら有限個の根が存在し、その数は \(a\) が \(0\) に近づくにつれて増える (例 17.5)。方程式 \(\tan x = x\) の正の根を \(\xi\) とすると、\(\sin x = ax\) の根の個数が変化する \(a\) は \(\cos\xi\) と表せることを示せ。 [ \(y = ax\) と \(y = \sin x\) が接するような \(a\) の値を求めればよい]

  16. \(x \neq 0\) のとき \(\phi(x) = x^{2}\sin(1/x)\) で \(\phi(0) = 0\) なら、\(x \neq 0\) で \[ \phi'(x) = 2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x} \] および \(\phi'(0) = 0\) となる。\(\phi'(x)\) は \(x = 0\) で不連続である (§111 の \(\text{(2)}\) を参照)。

  17. 円 \(x^{2} + y^{2} = a^{2}\) 上の点 \((x_{0}, y_{0})\) における接線と法線の方程式を求めよ。

    [ \(y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}\) より \(dy/dx = -x/\sqrt{a^{2} - x^{2}}\) だから、接線は \[ y - y_{0} = (x - x_{0}) \left\{-x_{0}/\sqrt{a^{2} - x_{0}^{2}}\right\} \] となる。これは \(xx_{0} + yy_{0} = a^{2}\) と簡略化できる。法線は \(xy_{0} - yx_{0} = 0\) であり、これはもちろん原点を通る]

  18. 楕円 \((x/a)^{2} + (y/b)^{2} = 1\) および放物線 \((x/a)^{2} - (y/b)^{2} = 1\) 上の任意の点における接線と法線の方程式をそれぞれ求めよ。

  19. \(x = \phi(t)\) と \(y = \psi(t)\) で表される曲線のパラメータの値が \(t\) である点における接線と法線は次の方程式で表される: \[ \begin{gathered} \frac{x - \phi(t)}{\phi'(t)} = \frac{y - \psi(t)}{\psi'(t)},\\ \{x - \phi(t)\} \phi'(t) + \{y - \psi(t)\} \psi'(t) = 0 \end{gathered} \]



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