§174 マクローリン・コーシーの積分判定法

\(n\) が増加するとき \(u_{n}\) が単調に減少するなら、\(u_{n} = \phi(n)\) とみなして \(x = n\) で \(\phi(n)\) という値を取る連続単調減少関数 \(\phi(x)\) が存在すると仮定できる。すると任意の正の整数 \(\nu\) に対して \(\nu - 1 \leq x \leq \nu\) で \[ \phi(\nu - 1) \geq \phi(x) \geq \phi(\nu) \] が成り立つ。 \[ v_{\nu} = \phi(\nu - 1) - \int_{\nu-1}^{\nu} \phi(x)\, dx = \int_{\nu-1}^{\nu} \{\phi(\nu - 1) - \phi(x)\}\, dx \] と定めると \[ 0 \leq v_{\nu} \leq \phi(\nu - 1) - \phi(\nu) \] であり、\(\sum v_{\nu}\) は正項級数となる。さらに \[ v_{2} + v_{3} + \cdots + v_{n} \leq \phi(1) - \phi(n) \leq \phi(1) \] だから、\(\sum v_{\nu}\) は収束する。よって \(v_{2} + v_{3} + \cdots + v_{n}\) つまり \[ \sum_{1}^{n-1} \phi(\nu) - \int_{1}^{n} \phi(x)\, dx \] は \(n \to \infty\) で正の極限に向かう。

\(\Phi(\xi)\) を次のように定義する: \[ \Phi(\xi) = \int_{1}^{\xi} \phi(x)\, dx \] このとき \(\Phi(\xi)\) は \(\xi\) に関して連続で単調増加となり、 \[ u_{1} + u_{2} + \cdots + u_{n-1} - \Phi(n) \] は \(n \to \infty\) で \(\phi(1)\) より小さい正の極限に向かう。よって \(n \to \infty\) で \(\Phi(n)\) が極限に向かうなら \(\sum u_{\nu}\) も極限に向かい、\(\Phi(n)\) が無限大に向かうなら \(\sum u_{\nu}\) も無限大に向かう。また \(\Phi(n)\) は単調増加だから、\(\xi \to \infty\) で極限に向かうか無限大に向かうかのどちらかである。以上より次の結果が得られる:

\(1\) より大きい全ての \(x\) に対して \(\phi(x)\) が連続で常に正であり、\(x\) が増加するとき \(\phi(x)\) が単調減少だとする。このとき級数 \(\phi(1) + \phi(2) + \cdots\) は \[ \Phi(\xi) = \int_{1}^{\xi} \phi(x)\, dx \] が \(\xi \to \infty\) で極限 \(l\) に向かうなら極限に向かい、\(\Phi(\xi)\) が無限大に向かうなら無限大に向かう。極限に向かう場合には、級数の和は \(\phi(1) + l\) 以下となる。

正確に言えば級数の和は \(\phi(1) + l\) より小さくなる。§160 の \(\text{(6)}\) と 第七章のその他の例 41 から \(v_{\nu} \lt \phi(\nu - 1) - \phi(\nu)\) とならないのは \(\phi(x) = \phi(\nu)\) のときだと分かるが、区間 \([\nu - 1, \nu]\) 全体で \(\phi(x) = \phi(\nu)\) が成り立たない限りこうはならない。しかしこの条件が全ての \(\nu\) で成り立つことはあり得ない。

例 70
  1. \(\displaystyle \sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} \lt \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\pi\) を示せ。

  2. \(\displaystyle -\dfrac{1}{2} \pi \lt \sum_{1}^{\infty} \frac{a}{a^{2} + n^{2}} \lt \dfrac{1}{2} \pi\) を示せ。

    (Math. Trip. 1909.)

  3. \(m \gt 0\) なら \(\displaystyle \frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{(m + 1)^{2}} + \frac{1}{(m + 2)^{2}} + \cdots \lt \frac{m + 1}{m}\) だと示せ。



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