§162 部分積分を使ったテイラーの定理の証明

続いて §147 で予告したテイラーの定理の別証明を示す。

\(n\) 次までの導関数が連続な関数を \(f(x)\) として、\(F_{n}(x)\) を次のように定める: \[ F_{n}(x) = f(b) - f(x) - (b - x)f'(x) - \cdots - \frac{(b - x)^{n-1}}{(n - 1)!} f^{(n-1)}(x) \]

このとき \[ F_{n}'(x) = -\frac{(b - x)^{n-1}}{(n - 1)!} f^{(n)}(x) \] であり、ここから \[ F_{n}(a) = F_{n}(b) - \int_{a}^{b}F_{n}'(x)\, dx = \frac{1}{(n - 1)!} \int_{a}^{b} (b - x)^{n-1} f^{(n)}(x)\, dx \] が分かる。\(b\) を \(a + h\) と書き、\(x = a + th\) として積分を変形すると \[ f(a + h) = f(a) + hf'(a) + \cdots + \frac{h^{n-1}}{(n - 1)!} f^{(n-1)}(a) + R_{n} \qquad \text{(1)} \] を得る。ここで \(R_{n}\) は次のようになる: \[ R_{n} = \frac{h^{n}}{(n - 1)!} \int_{0}^{1} (1 - t)^{n-1} f^{(n)}(a + th)\, dt \qquad \text{(2)} \]

\(p\) を \(n\) 以下の正の整数とすると、§160 の結果 (9) から \[ \begin{aligned} \int_{0}^{1} (1 - t)^{n-1} f^{(n)}(a + th)\, dt & = \int_{0}^{1}(1 - t)^{n-p} (1 - t)^{p-1} f^{(n)}(a + th)\, dt \\ & = (1 - \theta)^{n-p} f^{(n)}(a + \theta h) \int_{0}^{1} (1 - t)^{p-1}\, dt \end{aligned} \] が \(\theta\ \) (\(0 \lt \theta \lt 1\)) で成り立つ。よって次の式が得られる: \[ R_{n} = \frac{(1 - \theta)^{n-p} f^{(n)}(a + \theta h)h^{n}}{p(n - 1)!} \qquad \text{(3)} \]

\(p = n\) とすればラグランジュの剰余項 \(R_{n}\) (§148) となる1。一方で \(p = 1\) とすれば、コーシーの剰余項と呼ばれる次の形が得られる: \[ R_{n} = \frac{(1 - \theta)^{n-1} f^{(n)}(a + \theta h) h^{n}}{(n - 1)!} \qquad \text{(4)} \]


  1. 異なる形の剰余項を §147 の方法を改変して得ることもできる。[return]