§12 実数 $\sqrt{2}$

前に §4–§5 で個別に考えた無理数に戻ろう。そこでは不等式 $x^2<2$ と $x^2>2$ を使って切断を構築した。この切断はもともと正の有理数だけからなっていたが、後に (§8 で) 全ての有理数からなる切断に置き換えた。こうして定義される切断あるいは実数は $\sqrt{2}$ と表記される。

$\sqrt{2}$ とそれ自身の積として構築されるクラスは、(i) 二乗が $2$ より小さい正の有理数 $a,a^{\prime }$ に対する $(a{a}^{\prime })$、および (ii) 二乗が $2$ より大きい正の有理数 $A,A^{\prime }$ に対する $(A{A}^{\prime })$ からなる。これらのクラスは $2$ 以外の全ての正の有理数を含むので、 $$(\sqrt{2}{)}^2=\sqrt{2}\sqrt{2}=2$$

が成り立つ。加えて $$(-\sqrt{2}{)}^2=(-\sqrt{2})(-\sqrt{2})=\sqrt{2}\sqrt{2}=(\sqrt{2}{)}^2=2$$ も成り立つので、方程式 ${\mathbf{x}}^2=2$ には $\sqrt{2}$ と $-\sqrt{2}$ という二つの根がある。同じ議論は $x^2=3,x^3=7,\dots$ といった方程式に対応する $\sqrt{3},-\sqrt{3},\sqrt[3]{7},\dots$ に対しても同様に行える。