§4 無理数 (その 2)

有理数の幾何学的な表現を使ったここまでの議論から、新しい種類の数を追加して「数」の概念を拡張するのが望ましいことが分かった。

幾何学の言葉を使わずとも同じ結論を得ることはできる。代数における中心的な問題の一つは方程式の求解であり、例えば \[ x^{2} = 1,\quad x^{2} = 2 \] などの方程式を扱う。最初の方程式は二つの有理根 \(1\) と \(-1\) を持つが、私たちの数の概念が有理数に制限されるとすれば、二つ目の方程式には根が存在しないとしか言えなくなる。\(x^{3}=2,\ x^{4} = 7\) といった方程式も同様に解を持たなくなる。こういった方程式が解を持つことに証明が必要だと考えるなら、それだけで数の概念の拡張が望ましいと分かる。

方程式 \(x^{2} = 2\) についてさらに考える。

この方程式を満たす有理数 \(x\) は存在しないことは前に示した。任意の有理数の二乗は \(2\) より大きいか小さいかなので、有理数を二つのクラス¹に分割できる: 一方のクラスには二乗が \(2\) より小さい数が含まれ、もう一方のクラスには二乗が \(2\) よりも大きい数が含まれる。ここからは正の有理数のみを考え、この二つのクラスをそれぞれ クラス \(L\) (class \(L\))、下クラス (lower class)、左手クラス (left-hand class) および クラス \(R\) (class \(R\))、上クラス (upper class)、右手クラス (right-hand class) と呼ぶ。明らかに、\(R\) に属する任意の数は \(L\) に属する全ての数より大きい。またクラス \(L\) に属する数であって二乗が \(2\) より小さいものの \(2\) に好きなだけ近いものを見つけられること、そしてクラス \(R\) に属する数であって二乗が \(2\) より大きいものの \(2\) に好きなだけ近いものを見つけられることは容易に納得できる。実際、\(2\) を開平する通常の算術処理を行えば、二乗が \(2\) に限りなく近づいていく有理数の列を得られる。つまり \[ 1,\quad 1.4,\quad 1.41,\quad 1.414,\quad 1.4142,\quad \ldots \] の二乗 \[ 1,\quad 1.96, \quad 1.9881, \quad 1.999396,\quad 1.99996164,\quad \ldots \] は全て \(2\) より小さいが、限りなく \(2\) に接近する。桁数を十分多く取れば、望むだけ正確な近似を得られる。そしてこの近似の最後の桁をそれぞれ \(1\) 増やせば、有理数の数列 \[ 2,\quad 1.5,\quad 1.42,\quad 1.415,\quad 1.4143,\quad \ldots \] が得られる。この二乗 \[ 4,\quad 2.25,\quad 2.0164,\quad 2.002225,\quad 2.00024449,\quad \ldots \] は全て \(2\) より大きく、\(2\) に好きなだけ接近する。

ここから「\(L\) の最大要素と \(R\) の最小要素は存在しない」ことも分かる: \(L\) の任意の要素 \(x\) に対して \(x^{2} \lt 2\) が成り立つので、\(x^{2} = 2 - \delta\) とすれば \(L\) の要素 \(x_{1}\) であって \(x_{1}^{2}\) と \(2\) の差が \(\delta\) 未満であるものを取れる。このとき \(x_{1}^{2} \gt x^{2}\) すなわち \(x_{1} \gt x\) である。よって \(L\) には \(x\) より大きい要素がある。\(x\) は \(L\) の任意の要素だったから、\(L\) には他の全ての要素よりも大きい要素が存在しないことが言える。よって \(L\) は最大要素を持たず、同様に \(R\) は最小要素を持たない。

1. 訳注: 「クラス (class)」は何かの集まりを意味する。^[return]