§22 極座標

前節では $P$ の座標の大きさ $OM=x$ と $MP=y$ で $P$ の位置を特定した。$OP=r$ および $\angle MOP=\theta$ として、$\theta$ は (正の方向に測って) $0$ から $2\pi$ だとする。このとき $$\begin{array}{rlrlr}x& =r\cos \theta ,y& =r\sin \theta ,r& =\sqrt{x^2+y^2},\cos \theta :\sin \theta :1& =x:y:r\end{array}$$ が成り立ち、$r$ と $\theta$ からも $P$ の位置を決定できると分かる。加えて$r$ は必ず $0$ 以上となる¹。

$P$ がとある軌跡上を動くなら、$r$ と $\theta$ の間には関係が生まれる。これを $r=f(\theta )$ あるいは $\theta =F(r)$ と表記し、軌跡の極方程式 (polar equation) と呼ぶ。上記の関係を使えば極方程式を $(x,y)$ の方程式から求められる (逆もできる)。

例えば直線の極方程式は次の形をしていると示せる: $$r\cos (\theta -\alpha )=p$$ ここで $p$ と $\alpha$ は定数である。また方程式 $r=2a\cos \theta$ は原点を通る円を表す。この方程式は定数 $A,c,\alpha$ を使った $$r^2+c^2-2rc\cos (\theta -\alpha )=A^2$$ から得られる。

1. 極座標は $r$ が正でも負でもあり得るように定義されることもある。こうすると二つの座標 —例えば $(1,0)$ と $(-1,\pi )$— が同じ点を表す。二つの座標系の違いは $l>0$ と $e>1$ を使った方程式 $l/r=1-e\cos \theta$ を考えると明らかになる。私たちの定義では $r$ は正なので $\cos \theta <1/e$ が成り立ち、方程式は双曲線の一方の枝だけを表す。一方で負の $r$ を許す座標系なら $-l/r=1-e\cos \theta$ も含まれるので、双曲線全体が表される。^[return]