§27 陰な代数関数

4. もし \[ y = \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{1 - x}} {\sqrt{1 + x} + \sqrt[3]{1 - x}} \] なら、次の関係が容易に分かる: \[ y = \sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{x}} \] あるいはもし \[ y = \sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{x}} \] なら、次が成り立つ: \[ y^{4} - (4y^{2} + 4y + 1)x = 0 \] この二つの方程式は、どれも次の形をしている; \[ y^{m} + R_{1}y^{m-1} + \cdots + R_{m} = 0 \qquad \text{(1)} \] ここで \(R_{1},\ R_{2},\ \ldots,\ R_{m}\) は \(x\) の有理関数である。\(y\) をこれまでの例で考えた関数とすれば、\(y\) がこの形の方程式を満たすことは簡単に分かる。さらに任意の陽な代数関数についても同様だろうと自然に予想できる。この予想は正しく、証明も難しくないが、きちんとした証明を書くのに時間は割かないことにする。例を一つ示せば、証明がどのように進むかは理解できるだろう: \[ y = \frac{x + \sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt[3]{1 + x}} {x - \sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt[3]{1 + x}} \] とすると、次の式を得る: \[ y = \frac{x + u + v + w} {x - u + v - w}, \] \[ u^{2} = x,\quad v^{2} = x + u,\quad w^{3} = 1 + x \] 求めたい形の方程式を得るには、これらの方程式から \(u,\ v,\ w\) を削除すればよい。

   以上の考察から、代数関数の定義 「関数 \(y = f(x)\) が \(x\) の代数関数 (algebraical function) であるとは、\(y\) が (1) の形をした方程式の根である、つまり \(x\) の有理関数を係数に持つ \(y\) の \(m\) 次方程式の根であることを言う」が導かれる。明らかに、方程式の最初の係数が \(1\) であると仮定しても一般性は失われない。

   この関数のクラスは §26 で考えた陽な代数関数を全て含む。しかし、陽な代数関数として表せない関数もこのクラスには含まれる。一般的に言って \(m\) が \(4\) より大きいときの方程式 (1) は、\(y\) について \(x\) の式として陽に解くことができない。もちろん \(m = 1,\ 2,\ 3,\ 4\) では陽な解が存在し、\(m\) が大きくても陽な解が存在する特殊な場合もある。

   代数関数の定義を前章で示した代数的数の定義と比較するとよい。