第二章に関するその他の例

\(y = f(x) = \dfrac{ax + b}{cx - a}\) なら \(x = f(y)\) だと示せ。
全ての \(x\) に対して \(f(x) = f(-x)\) なら、\(f(x)\) を偶関数 (even function) と呼ぶ。全ての \(x\) について \(f(x) = -f(x)\) なら、\(f(x)\) を奇関数 (odd function) と呼ぶ。全ての \(x\) に対して定義された任意の関数は \(x\) の奇関数と偶関数の和であることを示せ。

[等式 \(f(x) = \frac{1}{2}\{f(x) + f(-x)\} + \frac{1}{2}\{f(x) - f(-x)\}\) を使う]
次の関数のグラフを描け: \[ 3\sin x + 4\cos x,\quad \sin\left(\frac{\pi}{\sqrt{2}} \sin x\right) \]

(Math. Trip. 1896.)
次の関数のグラフを描け: \[ \sin x(a\cos^{2} x + b\sin^{2} x), \quad \frac{\sin x}{x}(a\cos^{2} x + b\sin^{2} x), \quad \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2} \]
関数 \(x\left[\dfrac{1}{x}\right],\ \ \dfrac{[x]}{x}\) のグラフを描け。
次の関数のグラフを描け: \[ \begin{aligned} & \,\text{(i)}\, \arccos(2x^{2} - 1) - 2 \arccos{x} \\ & \text{(ii)} \arctan \frac{a + x}{1 - ax} - \arctan{a} - \arctan{x} \end{aligned} \] \(\arccos a,\ \arctan a\) は任意の値 \(a\) に対してコサインとタンジェントが \(a\) である値の中で一番小さい正の値を返すとする。
\(f(x)\) と \(\phi(x)\) のグラフから \(f\{\phi(x)\}\) のグラフを作る次の方法が正しいことを確かめよ: \(OX\) 上に \(OA = x\) を取り、\(A\) を通って \(OY\) に平行な直線が \(y = \phi(x)\) と交わる点を \(B\) とし、\(B\) を通って \(OX\) に平行な直線が \(y = x\) と交わる点を \(C\) とし、\(C\) を通って \(OY\) に平行な直線が \(y = f(x)\) と交わる点を \(D\) とし、\(D\) を通って \(OX\) に平行な直線が \(AB\) と交わる点を \(P\) とする。すると \(P\) が求めるグラフ上の点となる。
\(x^{3} + px + q = 0\) の根が、放物線 \(y = x^{2}\) と次の円との (原点でない) 交点の横座標であることを示せ: \[ x^{2} + y^{2} + (p - 1)y + qx = 0 \]
\(x^{4} + nx^{3} + px^{2} + qx + r = 0\) の根は放物線 \(x^{2} = y - \frac{1}{2}nx\) と次の円の交点の横座標である: \[ x^{2} + y^{2} + (\frac{1}{8}n^{2} - \frac{1}{2}pn + \frac{1}{2}n + q)x + (p - 1 - \frac{1}{4}n^{2})y + r = 0 \]
次の方程式の解について、視覚的に議論せよ: \[ x^{m} + ax^{2} + bx + c = 0 \] 議論には曲線 \(y = x^{m}\) と \(y = -ax^{2} - bx - c\) を利用せよ。また可能な根の個数について表にまとめよ。
方程式 \(\sec\theta + \cosec\theta = 2\sqrt{2}\) を解け。方程式 \(\sec\theta + \cosec\theta = c\) が \(c^{2} \lt 8\) なら \(0\) と \(2\pi\) の間に二つの根を持ち、\(c^{2} \gt 8\) なら同じ区間に四つの根を持つことを示せ。
\(n\) を正の整数として、方程式 \[ 2x = (2n + 1)\pi(1 - \cos x) \] がちょうど \(2n + 3\) 個の根を持つことを示せ。ここから根の局所性が分かる。

(Math. Trip. 1896.)
方程式 \(\dfrac{2}{3}x\sin x = 1\) が \(-\pi\) と \(\pi\) の間に四つの根を持つことを示せ。
次の方程式の根の個数と値を議論せよ:
1. \(\cot x + x - \frac{3}{2}\pi = 0\)
2. \(x^{2} + \sin^{2} x = 1\)
3. \(\tan x = 2x/(1 + x^{2})\)
4. \(\sin x - x + \frac{1}{6}x^{3} = 0\)
5. \((1 - \cos x)\tan\alpha - x + \sin x = 0\)
\(x = a,\ b,\ c\) のときの値がそれぞれ \(\alpha,\ \beta,\ \gamma\) であるような二次方程式は次の式で表せる: \[ \alpha\frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + \beta \frac{(x - c)(x - a)}{(b - c)(b - a)} + \gamma\frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} \] 同様に \(x = a_{1},\ a_{2},\ \ldots,\ a_{n}\) のときの値がそれぞれ \(\alpha_{1},\ \alpha_{2},\ \ldots,\ \alpha_{n}\) となるような \(n-1\) 次方程式を示せ。
\(x\) の二次多項式であって \(x\) が \(0,\ 1,\ 2\) のときの値がそれぞれ \(1/c,\ 1/(c + 1),\ 1/(c + 2)\) となるようなものを求めよ。\(x = c + 2\) のときの値が \(1/(c + 1)\) であると示せ。

(Math. Trip. 1911.)
\(x\) が \(y\) の有理関数でかつ \(y\) が \(x\) の有理関数なら \(Axy + Bx + Cy + D = 0\) だと示せ。
\(y\) が \(x\) の代数関数なら \(x\) は \(y\) の代数関数だと示せ。
\(x\) が \(0\) と \(1\) の間にあるとき、等式 \[ \cos\frac{1}{2}\pi x = 1 - \frac{x^{2}}{x + (x - 1)\sqrt{\frac{2 - x}{3}}} \] が近似的に正しいことを示せ。 [\(x = 0,\ \frac{1}{6},\ \frac{1}{3},\ \tfrac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{5}{6},\ 1\) として表にまとめよ。式が正確に正しくなる \(x\) はどれか？]
次の関数のグラフはどんな形をしているか？ \[ z = [x] + [y],\quad z = x + y - [x] - [y] \]
関数 \(z = \sin x + \sin y,\ z = \sin x\sin y,\ z = \sin xy,\ z = \sin(x^{2} + y^{2})\) のグラフはどんな形をしているか？
無理数の幾何学的構成: 単位長から始めて \(\sqrt{2}\) と等しい長さを幾何学的に構成する方法を第一章でいくつか示した。また二次方程式 \(ax^{2} + 2bx + c = 0\) の根の構成方法も示したが、そのときには有理数の係数 \(a,\ b,\ c\) の比と等しい長さの線分を作れることを利用した。こういった構成はどれも定規とコンパスだけを使っており、ユークリッドの構成 (Euclidean construction) と呼ばれる。

二乗根の組み合わせで定義される無理数であればどんなに複雑なものであっても、それと同じ長さをユークリッドの構成で作れる。例えば \[ \sqrt[4]{\sqrt{\frac{17 + 3\sqrt{11}}{17 - 3\sqrt{11}}} - \sqrt{\frac{17 - 3\sqrt{11}}{17 + 3\sqrt{11}}}} \] がその例である。この式には四乗根が出てくるが、もちろんこれは二乗根の二乗根と等しい。構成は \(1\) と \(11\) の幾何学平均 \(\sqrt{11}\) から始まり、それから \(17 + 3\sqrt{11}\) と \(17 - 3\sqrt{11}\) などが続く。あるいはこの二つの不尽根数の組を \(x^{2} - 34x + 190 = 0\) の根として直接得ることもできる。

逆に、ユークリッドの構成を使って構成できる無理数はこの種類に限られることが証明できる。有理数については単位長から任意の長さを構成できるので、有理数 \(A,\ B,\ C\) に対する直線 \(Ax + By + C = 0\)、および有理数 \(\alpha,\ \beta,\ \rho\) に対する円 \[ (x - \alpha)^{2} + (y - \beta)^{2} = \rho ^{2} \] を構成できる。円の方程式は \(x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0\) でもよく、このとき \(\alpha,\ \beta,\ \rho\) が有理数なら \(g,\ f,\ c\) も有理数となる。

ユークリッドの構成において図に新たな点が加わるとき、その点は二点、二円、または円と直線の交点として決定される。しかし係数が有理数という仮定の下では、次の二つの方程式 \[ Ax + By + C = 0,\quad x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0 \] の組から得られる解 \(x\) と \(y\) は \(m + n\sqrt{p}\) の形をした値だけである (\(m,\ n,\ p\) は有理数)。実際二つ目の方程式の \(x\) に \(y\) の式を代入すると二次方程式が手に入るので、有理係数の直線と円から得られる点の座標は有理数と二次の不尽根数だけと分かる。二点間の距離 \(\sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}}\) についても同様のことが言える。

このように構成される無理数の長さを使うと、係数に二次の不尽根数を含んだ直線と円を構成できる。しかしそういった直線と円を使って構成できるどんな長さも、複雑にはなるにせよ二次根号だけを使って表すことができる。そしてこの事実は構成が何度反復されても揺るがない。よってユークリッドの構成は二次の根号だけを使った不尽根数からなる数を全て構成し、それ以外は構成しない。

立方体倍積問題と呼ばれる古くからある有名な問題がある。ユークリッドの構成を使って \(\sqrt[3]{2}\) の長さを作れるか、という問題である。\(\sqrt[3]{2}\) は有理数と二乗根を使って表せないことが示せるので、この問題は不可能であると結論できる。詳しくはホブソン著 Squaring the Circle, pp. 47 et seq. を参照してほしい。\(\sqrt[3]{2}\) が有理係数二次方程式 \(ax^{2} + 2bx + c = 0\) の根にならないことは第一章に関するその他の例 24 で示した。
円積問題の近似解: 半径 \(R\) の円の中心を \(O\) とする。円周上の点 \(A\) を通る接線上に \(AP = \frac{11}{5}R\) および \(AQ = \frac{13}{5}R\) となるように \(P\) と \(Q\) を同じ方向に取る。\(AO\) 上に \(AN = OP\) となる \(N\) を取り、\(N\) を通って \(OQ\) に平行な直線が \(AP\) と交わる点を \(M\) とする。このとき次の式を示せ: \[ \frac{AM}{R} = \frac{13}{25}\sqrt{146} \] さらに \(AM\) を円周の近似値とみなせば、小数以下第五位まで正しい \(\pi\) の値が得られていることを示せ。\(R\) を地球の半径とすると、\(AM\) と円周の間の誤差は \(11\) ヤード以下となる。
単位長から定規だけで構成できる長さは有理数だけだと示せ。
\(\sqrt[3]{2}\) の構成: 放物線 \(y^{2} = 4x\) の頂点を \(O\)、焦点を \(S\) とする。この放物線ともう一つの放物線 \(x^{2} = 2y\) の \(O\) でない交点を \(P\) とし、\(OP\) が一つ目の放物線の通径 (latus rectum) と交わる点を \(Q\) としたとき、\(SQ = \sqrt[3]{2}\) を示せ。
直径が単位長の円を考え、直径 \(OA\) と \(A\) を通る接線を取る。\(O\) を通る弦を取り、円との交点を \(B\)、接線との交点を \(C\) とする。さらにこの直線上に \(OM = BC\) となるように \(M\) を取る。\(O\) を原点、\(OA\) を \(x\) 軸としたとき、\(M\) の軌跡が次の直線であることを示せ: \[ (x^{2} + y^{2})x - y^{2} = 0 \] (この曲線はディオクレスのシッソイド (Cissoid of Diocles) と呼ばれる)。曲線を描き、\(y\) 軸上に \(OD = 2\) となる点 \(D\) を取る。\(AD\) が曲線と交わる点を \(P\) とし、\(A\) を通る円の接線と \(OP\) の交点を \(Q\) とする。このとき \(AQ = \sqrt[3]{2}\) を示せ。