§36 変位の加算

次の等式を示せ:

1. \(\alpha [\beta x, \beta y] = \beta [\alpha x, \alpha y] = [\alpha \beta x, \alpha \beta y]\)
2. \(([x, y] + [x', y']) + [x'', y''] = [x, y] + ([x', y'] + [x'', y''])\)
3. \([x, y] + [x', y'] = [x', y'] + [x, y]\)
4. \((\alpha + \beta) [x, y] = \alpha [x, y] + \beta [x, y]\)
5. \(\alpha \{[x, y] + [x', y']\} = \alpha [x, y] + \alpha [x', y']\)

[(iii) は前に示した。他の等式も定義から容易に従う。(iii) に対して行ったような幾何学的な意味の考察をそれぞれのケースについて行うこと]

\(M\) が \(PQ\) の中点なら \(\overline{OM} = \frac{1}{2}(\overline{OP} + \overline{OQ})\) が成り立つ。一般的に言えば、\(M\) が \(PQ\) を \(\mu : \lambda\) の比に分割するとき、次の式が成り立つ: \[ \overline{OM} = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\, \overline{OP} + \frac{\mu}{\lambda + \mu}\, \overline{OQ} \]

\(G\) が同一の粒子 \(P_{1},\ P_{2},\ \ldots,\ P_{n}\) の重心なら、次の式が成り立つ: \[ \overline{OG} = \frac{\overline{OP_{1}} + \overline{OP_{2}} + \cdots + \overline{OP_{n}}}{n} \]

\(P,\ Q,\ R\) を同一直線上にある点とすると、\(0\) でない実数 \(\alpha,\ \beta,\ \gamma\) を使って次のように書ける: \[ \alpha · \overline{OP} + \beta · \overline{OQ} + \gamma · \overline{OR} = 0 \] 加えて逆も成り立つ。 [これは問題 2 の言い換えに過ぎない]

\(\overline{AB}\) と \(\overline{AC}\) が同一直線上にない二つの変位で \[ \alpha · \overline{AB} + \beta · \overline{AC} = \gamma · \overline{AB} + \delta · \overline{AC} \] が成り立つなら、\(\alpha = \gamma\) かつ \(\beta = \delta\) である。

[\(AB_{1} = \alpha · AB,\ AC_{1} = \beta · AC\) を取り、平行四辺形 \(AB_{1}P_{1}C_{1}\) を完成させる。すると \(\overline{AP_{1}} = \alpha · \overline{AB} + \beta · \overline{AC}\) が成り立つ。この形を使った \(\overline{AP_{1}}\) の表現方法は一通りしかないことが分かるので、命題が示せる]

\(ABCD\) を平行四辺形とする。平行四辺形内部の点 \(Q\) を取り、直線 \(RQS\) と \(TQU\) を辺に平行に取る。\(RU\) と \(TS\) が \(AC\) 上で交わることを示せ。

[比 \(AT:AB\) と \(AR:AD\) を \(\alpha\) と \(\beta\) で表す。このとき次が成り立つ: \[ \begin{gathered} \overline{AT} = \alpha · \overline{AB},\quad \overline{AR} = \beta · \overline{AD}, \\ \overline{AU} = \alpha · \overline{AB} + \overline{AD},\quad \overline{AS} = \overline{AB} + \beta · \overline{AD} \end{gathered} \]

\(RU\) と \(AC\) の交点を \(P\) とすると、三点 \(R,\ U,\ P\) は同一直線上にあるので \[ \overline{AP} = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}\, \overline{AR} + \frac{\mu}{\lambda + \mu}\, \overline{AU} \] が成り立つ。ここで \(P\) は \(RU\) を \(\mu : \lambda\) に分割する。ここから次の式が分かる: \[ \overline{AP} = \frac{\alpha\mu}{\lambda + \mu}\, \overline{AB} + \frac{\beta\lambda + \mu}{\lambda + \mu}\, \overline{AD}. \]

一方 \(P\) は \(AC\) 上にあるので、\(\overline{AP}\) は \(\overline{AC}\) の実数倍である。つまり \[ \overline{AP} = k · \overline{AC} = k · \overline{AB} + k · \overline{AD} \] と書ける。よって (問題 5 から) \(\alpha\mu = \beta\lambda + \mu = (\lambda + \mu)k\) が分かり、この式から \[ k = \frac{\alpha\beta}{\alpha + \beta - 1} \] が求まる。この結果の対称性から、\(TS\) と \(AC\) の交点を \(P'\) とすれば同様の議論で \[ \overline{AP'} = \frac{\alpha\beta}{\alpha + \beta - 1}\, \overline{AC} \] が分かる。よって \(P\) と \(P'\) は同一の点を表す]

\(ABCD\) を平行四辺形、\(M\) を \(AB\) の中点とする。\(DM\) が \(AC\) を三等分し、\(AC\) が \(DM\) を三等分することを示せ¹。