§41 方程式 \(i \times i = -1\)

\(x + 0i\) を \(x\) と表記し、\(0 + yi\) を \(yi\) と表記すると前に定めた。さらに複素数 \(1i\) を \(i\) と表記するとしよう。\(i\) は \(OY\) に沿った単位量の変位に対応する複素数であり、 \[ i^{2} = ii = (0 + 1i) (0 + 1i) = (0 · 0 - 1 · 1) + (0 · 1 + 1 · 0)i = -1 \] つまり \((-i)^{2} = -1\) が成り立つ。よって \(i\) と \(-i\) は方程式 \(x^{2} = -1\) を満たす。

ここまでくれば、次のことを容易に納得できるだろう: 複素数の加算と乗算は、\(\bm{i}\) を実数を表す記号として実数と同様に扱い、計算結果に含まれる \(\bm{ii = i^{2}}\) を \(\bm{-1}\) に変えれば計算できる。例えば次のようになる: \[ \begin{aligned} (x + yi) (x' + y'i) & = xx' + xy'i + yx'i + yy'i^{2}\\ & = (xx' - yy') + (xy'+ yx')i \end{aligned} \]