§45 ド・モアブルの定理

次の命題は加算と乗算の定義から直ちに従う:

二つの複素数の和の実部 (および和の虚部) は二つの実部の和 (および虚部の和) に等しい。
二つの複素数の積の大きさは二つの大きさの積に等しい。
二つの複素数の積の偏角は二つの偏角の和に等しいか、二つの偏角の和から $2 π$ 離れた値に等しい。

$ar g (z z^{'})$ の主値が常に $ar g z$ の主値と $ar g z^{'}$ の主値の和であるとは限らない。例えば $z = z^{'} = - 1 + i$ とすれば $z$ と $z^{'}$ の偏角の主値はどちらも $\frac{3}{4} π$ となる。しかし $z z^{'} = - 2 i$ なので $ar g (z z^{'})$ の主値は $- \frac{1}{2} π$ であり、 $\frac{3}{2} π$ ではない。

最後の二つの定理は次の等式として表せる: $r (cos θ + i sin θ) \times ρ (cos ϕ + i sin ϕ) = r ρ {cos (θ + ϕ) + i sin (θ + ϕ)}$ 証明は左辺を計算して $cos (θ + ϕ)$ と $sin (θ + ϕ)$ に関する三角関数の公式を使えば簡単に行える。さらに一般的に言うと、次が成り立つ: $r_{1} (cos θ_{1} + i sin θ_{1}) \times r_{2} (cos θ_{2} + i sin θ_{2}) \times \dots \times r_{n} (cos θ_{n} + i sin θ_{n}) = r_{1} r_{2} \dots r_{n} {cos (θ_{1} + θ_{2} + \dots + θ_{n}) + i sin (θ_{1} + θ_{2} + \dots + θ_{n})}$

特に重要なのが $r_{1} = r_{2} = \dots = r_{n} = 1, θ_{1} = θ_{2} = \dots = θ_{n} = θ$ とした場合であり、次の式が得られる: $(cos θ + i sin θ)^{n} = cos n θ + i sin n θ$ ここで $n$ は正の整数を表す。この結果はド・モアブルの定理 (De Moivre's Theorem) として知られる¹。

また $z = r (cos θ + i sin θ)$ であれば $\frac{1}{z} = \frac{1}{r} (cos θ - i sin θ)$ となる。つまり $z$ の逆数の大きさは $z$ の大きさの逆数であり、 $z$ の逆数の偏角は $z$ の偏角の符号を反転させたものである。ここから (2) と (3) に対応する商に関する定理を導ける:

二つの複素数の商の大きさは二つの大きさの商に等しい。
二つの複素数の商の偏角は二つの偏角の差に等しいか、二つの偏角の差から $2 π$ 離れた値に等しい。

また $(cos θ + i sin θ)^{- n} = (cos θ - i sin θ)^{n} = {cos (- θ) + i sin (- θ)}^{n} = cos (- n θ) + i sin (- n θ)$ だから、ド・モアブルの定理は正と負の整数 $n$ 全てに対して成立する。

定理 (1)–(5) に次の定理を加える。これも同じく非常に重要である。

任意個の複素数の和の大きさは、大きさの和と等しいかそれより小さい。

証明は次の通り。 $\overline{OP}, \overline{O P^{'}}, \dots$ を複素数に対応する変位とする。 $PQ$ を $O P^{'}$ と平行で長さが等しいよう取り、 $QR$ を $O P^{''}$ と平行で長さが等しいように取る。以降も続けて取っていくと、最後の点 $U$ では次が成り立つ: $\overline{O U} = \overline{OP} + \overline{O P^{'}} + \overline{O P^{''}} + \dots$ $O U$ の長さは考えている複素数の和の大きさと等しい。一方で複素数の大きさの和は折れ線 $OPQR \dots U$ の全長なので、 $O U$ より大きくはならない。

代数だけを使ったこの定理の証明の概略が例 21.1 にある。

$cos θ + i sin θ$ を省略して $Cis θ$ と表記すると便利なことがある。ハークネスとモーレイによって導入されたこの表記を使うと、ド・モアブルの定理は $(Cis θ)^{n} = Cis n θ$ と表せる。^[return]