§48 \(z^{n} = a\) の解

正の実数 \(\rho\) と \(-\pi \lt \phi \leq \pi\) を満たす \(\phi\) について \[ a = \rho(\cos\phi + i\sin\phi) \] とする。\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) とおけば、前節の方程式は \[ r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta) = \rho(\cos\phi + i \sin\phi) \] となり、次の関係が成り立つ: \[ r^{n} = \rho,\quad \cos n\theta = \cos\phi,\quad \sin n\theta = \sin\phi \qquad \text{(1)} \]

\(r\) として可能なのは通常の \(\rho\) の \(n\) 乗根 \(\sqrt[n]{\rho}\) のみである。そして後ろの二つの関係が満たされるには、整数 \(k\) に対して \(n\theta = \phi + 2k\pi\) すなわち \[ \theta = \frac{\phi + 2k\pi}{n} \] が必要となる。整数 \(p,\ q\ \) (\(0 \leq q \lt n\)) を使って \(k = pn + q\) とすれば \(\theta = 2p\pi + (\phi + 2q\pi)/n\) であり、\(p\) の値は重要でない。つまり方程式 \[ \bm{z^{n} = a = \rho(\cos\phi + i\sin\phi)} \] はちょうど \(\bm{n}\) 個の解 \(\bm{z = r(\cos\theta + i\sin\theta)}\) を持つ。ここで \(r\) と \(\theta\) は次の関係を満たす: \[ r = \sqrt[n]{\rho},\quad \theta = \frac{\phi + 2q\pi}{n}\quad (q = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ n - 1) \]

この \(n\) 個の根が本当に異なる点であることはアルガン図に点をプロットすればすぐに分かる。根の一つ \[ \sqrt[n]{\rho}\{\cos(\phi/n) + i\sin(\phi/n)\} \] を \(\sqrt[n]{a}\) の主値 (principal value) と呼ぶ。

\(a = 1,\ \rho = 1,\ \phi = 0\) である場合が特に興味深い。方程式 \(x^{n} = 1\) の \(n\) 個の根は \[ \cos(2q\pi/n) + i\sin(2q\pi/n)\quad (q = 0,\ 1,\ \ldots,\ n - 1) \] である。これらの複素数を \(1\) の \(n\) 乗根と呼ぶ。主値は \(1\) となる。\(\cos(2\pi/n) + i\sin(2\pi/n)\) を \(\omega_{n}\) と書けば、\(1\) の \(n\) 乗根は次のように表せる: \[ 1,\quad \omega_{n},\quad \omega_{n}^{2},\ \ldots,\quad \omega_{n}^{n-1} \]

例 22

\(1\) の二乗根は \(1\) と \(-1\) の二つであり、\(1\) の三乗根は \(1,\ \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt{3}),\ \frac{1}{2}(-1 - i\sqrt{3})\) の三つ、\(1\) の四乗根は \(1,\ i,\ -1,\ -i\) の四つ、五乗根は次の五つである: \[ \begin{aligned} 1,\quad & & \frac{1}{4} \left[\hphantom{-} \sqrt{5} - 1 + i\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}\right],\quad \frac{1}{4} \left[-\sqrt{5} - 1 + i\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}\right],\\ & & \frac{1}{4} \left[-\sqrt{5} - 1 - i\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}\right],\quad \frac{1}{4} \left[\hphantom{-} \sqrt{5} - 1 - i\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}\right]\hphantom{.} \end{aligned} \]
次を示せ: \[ 1 + \omega_{n} + \omega_{n}^{2} + \cdots + \omega_{n}^{n-1} = 0 \]
次を示せ: \[ (x + y\omega_{3} + z\omega_{3}^{2}) (x + y\omega_{3}^{2} + z\omega_{3}) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - yz - zx - xy \]
\(a\) の \(n\) 乗根は主値 \(\sqrt[n]{a}\) の積として表せる。
例 21.14 から、 \[ z^{2} = \alpha + \beta i \] の根が \[ ± \sqrt{\tfrac{1}{2} \{\sqrt{\alpha^{2} + \beta^{2}} + \alpha\}} ± i\sqrt{\tfrac{1}{2} \{\sqrt{\alpha^{2} + \beta^{2}} - \alpha\}} \] だと分かる。符号が同じか異なるかは \(\beta\) の正負によって決まる。これが §48 の結果と矛盾しないことを示せ。
\(\dfrac{x^{2m} - a^{2m}}{x^{2} - a^{2}}\) が次式と等しいことを示せ: \[ \Bigl(x^{2} - 2ax\cos\frac{\pi}{m} + a^{2}\Bigr) \Bigl(x^{2} - 2ax\cos\frac{2\pi}{m} + a^{2}\Bigr) \cdots \Bigl(x^{2} - 2ax\cos\frac{(m - 1)\pi}{m} + a^{2}\Bigr) \] [\(x^{2m} - a^{2m}\) の因数は \[ (x - a),\quad (x - a\omega_{2m}),\quad (x - a\omega_{2m}^{2}),\ \ldots, \quad (x - a\omega_{2m}^{2m-1}) \] である。因数 \(x - a\omega_{2m}^{m}\) は \(x + a\) と等しく、\((x - a\omega_{2m}^{s})\) と \((x - a\omega_{2m}^{2m-s})\) の積が因数 \(x^{2} - 2ax \cos(s\pi/m) + a^{2}\) となる]
\(x^{2m+1} - a^{2m+1},\ x^{2m} + a^{2m},\ \) \(x^{2m+1} + a^{2m+1}\) を前問と同じ方法で因数分解せよ。
\(x^{2n} - 2x^{n}a^{n} \cos\theta + a^{2n}\) が次式と等しいことを示せ: \[ \begin{aligned} \left(x^{2} - 2xa\cos\frac{\theta}{n} + a^{2}\right) & \left(x^{2} - 2xa\cos\frac{\theta + 2\pi}{n} + a^{2}\right) \cdots \\ & \cdots \left(x^{2} - 2xa\cos\frac{\theta + 2(n - 1)\pi}{n} + a^{2}\right) \end{aligned} \] [等式 \[ x^{2n} - 2x^{n}a^{n} \cos\theta + a^{2n} = \{x^{n} - a^{n}(\cos\theta + i\sin\theta)\} \{x^{n} - a^{n}(\cos\theta - i\sin\theta)\} \] を使い、右辺の二つの式をそれぞれ \(n\) 個の因数に分解する]
\(x^{6} - 2x^{3} + 2 = 0\) の根を全て求めよ。

(Math. Trip. 1910.)
\(\omega_{n}\) の正確な値を \(\omega_{3} = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt{3})\) のように二乗根だけを使った数値的な形で得る問題は、ユークリッドの構成を使って単位円の中に正 \(n\) 角形を作図する幾何学の問題の代数版と言える。この作図が可能なのは \(\cos(2\pi/n)\) と \(\sin(2\pi/n)\) の長さが作図できるときであり、これは (第二章に関連する例 22 で示したように) 数字が二乗根だけを使って表せるときに限って可能になる。

ユークリッドは \(n = 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 15\) に対する作図を示した。これらの数に \(2\) のべきを乗じた値についても同じ方法を使って作図できる。これ以外にも正多角形の作図が可能な値は存在し、その中で最も興味深いのは \(n = 17\) である。