第四章のその他の例

関数 $ϕ (n)$ が $n = 0, 1, 2, \dots$ で $1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, \dots$ という値を取るとする。 $ϕ (n)$ を三角関数が含まれない $n$ の式で表せ。 [ $ϕ (n) = \frac{1}{4} {1 + (- 1)^{n} + i^{n} + (- i)^{n}}$ ]
$n$ が $\infty$ に向かうとき $ϕ (n)$ が単調増加で $ψ (n)$ が単調減少だとする。全ての $n$ で $ψ (n) > ϕ (n)$ が成り立つなら、 $ϕ (n)$ と $ψ (n)$ の両方が極限に向かい、さらに $lim ϕ (n) \leq lim ψ (n)$ だと示せ。 [§69 の結果から直ちに得られる]
もし $ϕ (n) = (1 + \frac{1}{n})^{n}, ψ (n) = (1 - \frac{1}{n})^{- n}$ なら $ϕ (n + 1) > ϕ (n)$ かつ $ψ (n + 1) < ψ (n)$ だと示せ。 [一つ目の式は §73 で示した]
前問の設定で、全ての $n$ に対して $ψ (n) > ϕ (n)$ だと示せ。そして $n$ が $\infty$ に向かうとき $ϕ (n)$ と $ψ (n)$ が極限に向かうと (二つ前の問題を使って) 示せ¹。
和が $n$ の正整数の組を全て考え、その積の代数平均を $S_{n}$ とする。 $lim (S_{n} / n^{2}) = 1/6$ を示せ。

(Math. Trip. 1903.)
$x$ と $A$ が正で $x_{1} = \frac{1}{2} {x + (A / x)}, x_{2} = \frac{1}{2} {x_{1} + (A / x_{1})}, \dots$ という関係が成り立つなら $lim x_{n} = A$ だと示せ。

[まず $\frac{x _{n} - A}{x _{n} + A} = (\frac{x - A}{x + A})^{2^{n}}$ を示す]
全ての $n$ に対して $ϕ (n)$ が正の整数で、 $n$ と共に $\infty$ に向かうとする。このとき $x^{ϕ (n)}$ は $0 < x < 1$ なら $0$ に向かい、 $x > 1$ なら $+ \infty$ に向かう。他の $x$ の値に対する $n \to \infty$ における $x^{ϕ (n)}$ の振る舞いを議論せよ。
$n$ が増加するとき $a_{n}$ が単調に増加または減少するなら、 $(a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}) / n$ もそうだと示せ²。
$x_{n + 1} = k + x_{n}$ で $k$ と $x_{1}$ は正とする。このとき $x^{2} = x + k$ の正の根を $α$ とすると、 $x_{1}$ が $α$ より小さいとき $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots$ は増加列となり、そうでないとき減少列となる。いずれの場合でも $n \to \infty$ のとき $x_{n} \to α$ が成り立つ。
$x_{n + 1} = k / (1 + x_{n})$ で $k$ と $x_{1}$ は正とする。このとき $x_{1}, x_{3}, x_{5}, \dots$ と $x_{2}, x_{4}, x_{6}, \dots$ は一方が増加列でもう一方が減少列となる。そして $x^{2} = x + k$ の正の根を $α$ とすると、二つの列は両方とも極限 $α$ に向かう。
関数 $f (x)$ が単調増加かつ全ての $x$ に対して連続 (第五章) で、列 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots$ が $x_{n + 1} = f (x_{n})$ で定義されるとする。 $x_{n}$ が方程式 $x = f (x)$ の根に向かうかどうかを、図を使って議論せよ。特にこの方程式が根を一つだけ持つケースについて、 $y = f (x)$ が上からおよび下から直線 $y = x$ を横切るときにどうなるかを考えよ。
$x_{1}, x_{2}$ が正で $x_{n + 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + x_{n - 1})$ とする。このとき二つの数列 $x_{1}, x_{3}, x_{5}, \dots$ と $x_{2}, x_{4}, x_{6}, \dots$ は一方が減少列でもう一方で増加列となり、共通の極限 $\frac{1}{3} (x_{1} + 2 x_{2})$ を持つ。
次の等式で定義される関数 $y$ のグラフを描け。 $y = n \to \infty lim \frac{x ^{2 n} sin \frac{1}{2} π x + x ^{2}}{x ^{2 n} + 1}$

(Math. Trip. 1901)
関数 $y = n \to \infty lim \frac{1}{1 + n sin ^{2} π x}$ は $x$ が整数のとき $1$ で、それ以外のとき $0$ となる。関数 $y = n \to \infty lim \frac{ψ ( x ) + n ϕ ( x ) sin ^{2} π x}{1 + n sin ^{2} π x}$ は $x$ が整数のとき $ψ (x)$ に等しく、それ以外のとき $ϕ (x)$ に等しい。
関数 $y = n \to \infty lim \frac{x ^{n} ϕ ( x ) + x ^{- n} ψ ( x )}{x ^{n} + x ^{- n}}$ のグラフが $ϕ (x)$ と $ψ (x)$ の一部分、および (一般には) 二つの孤立点からなると示せ。(a) $x = 1$ 、(b) $x = - 1$ 、(c) $x = 0$ のとき、 $y$ は定義されるか？
$x$ が有理数のとき $0$ 、 $x$ が無理数のとき $1$ となる関数が次の式で表せることを示せ: $y = m \to \infty lim sgn {sin^{2} (m! π x)}$ ここで例 31.14 と同様 $sgn x = n \to \infty lim (2/ π) arctan (n x)$ とする。 [ $x$ が有理数なら、 $sin^{2} (m! π x)$ および $sgn {sin^{2} (m! π x)}$ はある $m$ から後ろで全て $0$ となる。 $x$ が無理数なら $sin^{2} (m! π x)$ は常に正で、 $sgn {sin^{2} (m! π x)}$ は常に $1$ となる]

この $y$ が次の形でも表せると示せ: $1 - m \to \infty lim [n \to \infty lim {cos (m! π x)}^{2 n}]$
級数 $1 \sum \infty \frac{1}{ν ( ν + 1 )}, 1 \sum \infty \frac{1}{ν ( ν + 1 ) \dots ( ν + k )}$ の和を求めよ。

[次が成り立つ: $\frac{1}{ν ( ν + 1 ) \dots ( ν + k )} = \frac{1}{k} {\frac{1}{ν ( ν + 1 ) \dots ( ν + k - 1 )} - \frac{1}{( ν + 1 ) ( ν + 2 ) \dots ( ν + k )}}$ よって $1 \sum n \frac{1}{ν ( ν + 1 ) \dots ( ν + k )} = \frac{1}{k} {\frac{1}{1 \cdot 2 \dots k} - \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 ) \dots ( n + k )}}$ であり、したがって $1 \sum \infty \frac{1}{ν ( ν + 1 ) \dots ( ν + k )} = \frac{1}{k ( k !)}$ が成り立つ]
$∣ z ∣ < ∣ α ∣$ なら $\frac{L}{z - α} = - \frac{L}{α} (1 + \frac{z}{α} + \frac{z ^{2}}{α ^{2}} + \dots)$ であり、 $∣ z ∣ > ∣ α ∣$ なら $\frac{L}{z - α} = \frac{L}{z} (1 + \frac{α}{z} + \frac{α ^{2}}{z ^{2}} + \dots)$ が成り立つ。
$z$ のべきを使った $\frac{A z + B}{a z ^{2} + 2 b z + c}$ の展開: $a z^{2} + 2 b z + c = 0$ の根を $α, β$ とすれば $a z^{2} + 2 b z + c = a (z - α) (z - β)$ となる。 $A, B, a, b, c$ が全て実数で $α \neq = β$ とすれば $\frac{A z + B}{a z ^{2} + 2 b z + c} = \frac{1}{a ( α - β )} (\frac{A α + B}{z - α} - \frac{A β + B}{z - β})$ が容易に分かる。このとき $b^{2} > a c$ と $b^{2} < a c$ に応じて二つの場合がある。
1. $b^{2} > a c$ なら $α$ と $β$ は異なる実数である。 $∣ z ∣$ が $∣ α ∣$ と $∣ β ∣$ より小さいなら $1/ (z - α)$ と $1/ (z - β)$ は $z$ の昇べきの級数に展開でき、 $∣ z ∣$ が $∣ α ∣$ と $∣ β ∣$ より小さいなら降べきの級数に、 $∣ z ∣$ が $∣ α ∣$ と $∣ β ∣$ の間にあるなら一つが降べきの級数、もう一つが小べきの級数に展開される。結果を自分で書いてみるとよい。 $∣ z ∣$ が $∣ α ∣$ または $∣ β ∣$ に等しいならこういった展開はできない。
2. $b^{2} < a c$ なら根は共役な複素数である (§43)。よって $ρ^{2} = α β = c / a, ρ cos ϕ = \frac{1}{2} (α + β) = - b / a$ とすれば $α = ρ Cis ϕ, β = ρ Cis (- ϕ)$ であり、 $cos ϕ = - b^{2} / a c, sin ϕ = 1 - (b^{2} / a c)$ が成り立つ。
  
  $∣ z ∣ < ρ$ なら二つの関数は $z$ の昇べきの級数で表せる。 $z^{n}$ の係数は $\frac{A ρ sin n ϕ + B sin {( n + 1 ) ϕ }}{a ρ ^{n + 1} sin ϕ}$ となる。 $∣ z ∣ > ρ$ のときは同様の降べきの級数が得られる。 $∣ z ∣ = ρ$ のときは展開できない。
$∣ z ∣ < 1$ なら $1 + 2 z + 3 z^{2} + \dots + (n + 1) z^{n} + \dots = \frac{1}{( 1 - z ) ^{2}}$ だと示せ。

[第 $n$ 項までの和は $\frac{1 - z ^{n}}{( 1 - z ) ^{2}} - \frac{n z ^{n}}{1 - z}$ となる]
$L / (z - α)^{2}$ を $z$ の級数に展開せよ。 $∣ z ∣ < ∣ α ∣$ のときは昇べきの級数、 $∣ z ∣ > ∣ α ∣$ のときは降べきの級数となる。
$b^{2} = a c$ かつ $∣ a z ∣ < ∣ b ∣$ なら $\frac{A z + B}{a z ^{2} + 2 b z + c} = 0 \sum \infty p_{n} z^{n}$ が成り立つ。ここで $p_{n} = {(- a)^{n} / b^{n + 2}} {(n + 1) a B - nb A}$ である。 $∣ a z ∣ > ∣ b ∣$ のときに対応する $z$ の降べきの級数を求めよ。
問題 19 の結果を $\frac{1}{1 + z ^{2}}$ に対して確かめよ。

[ $\frac{1}{1 + z ^{2}} = \sum z^{n} sin {\frac{1}{2} (n + 1) π} = 1 - z^{2} + z^{4} - \dots$ となる]
$∣ z ∣ < 1$ なら $\frac{1}{1 + z + z ^{2}} = \frac{2}{3} 0 \sum \infty z^{n} sin {\frac{2}{3} (n + 1) π}$ だと示せ。
$\frac{1 + z}{1 + z ^{2}}, \frac{1 + z ^{2}}{1 + z ^{3}}, \frac{1 + z + z ^{2}}{1 + z ^{4}}$ を昇べきの $z$ の級数に展開せよ。その展開が成り立つのは $z$ がどんな値のときか？
$\frac{a}{a + b z + c z ^{2}} = 1 + p_{1} z + p_{2} z^{2} + \dots$ なら $1 + p_{1}^{2} z + p_{2}^{2} z^{2} + \dots = \frac{a + cz}{a - cz} \cdot \frac{a ^{2}}{a ^{2} - ( b ^{2} - 2 a c ) z + c ^{2} z ^{2}}$ が成り立つ。

(Math. Trip. 1900.)
$n \to \infty lim s_{n} = l$ なら $n \to \infty lim \frac{s _{1} + s _{2} + \dots + s _{n}}{n} = l$ が成り立つ。

[ $s_{n} = l + t_{n}$ として、 $t_{n}$ が $0$ に向かうとき $(t_{1} + t_{2} + \dots + t_{n}) / n$ も $0$ に向かうと示す。

$t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}$ を $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{p}$ と $t_{p + 1}, t_{p + 2}, \dots, t_{n}$ に分割する。ここで $p$ は $n$ の関数であり、 $n \to \infty$ のとき $\infty$ に向かう。ただし $p$ が無限大に向かう速度は $n$ より遅い、つまり $p \to \infty$ のとき $p / n \to 0$ とする。例えば $p$ は「 $n$ の整数部分」という関数だとする。

$ε$ を任意の正の実数とする。 $ε$ がどれだけ小さくとも、 $n \geq n_{0}$ で $t_{p + 1}, t_{p + 2}, \dots, t_{n}$ の絶対値が全て $\frac{1}{2} ε$ より小さくなるように $n_{0}$ を選べる。そして $\frac{t _{p + 1} + t _{p + 2} + \dots + t _{n}}{n} < \frac{1}{2} \cdot \frac{ε ( n - p )}{n} < \frac{1}{2} ε$ が成り立つ。 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{p}$ の絶対値の最大値を $A$ とすれば $\frac{t _{1} + t _{2} + \dots + t _{p}}{n} < \frac{p A}{n}$ となる。 $n \to \infty$ のとき $\frac{p}{n} \to 0$ だったから、 $n_{0}$ が十分大きければ全ての $n \geq n_{0}$ でこれは $\frac{1}{2} ε$ より小さくなる。よって $\frac{t _{1} + t _{2} + \dots + t _{n}}{n} \leq \frac{t _{1} + t _{2} + \dots + t _{p}}{n} + \frac{t _{p + 1} + \dots + t _{n}}{n} < ε$ が $n \geq n_{0}$ で成り立つ。示したいことはこれで証明された。

極限を上手く扱えるようになりたいなら、上の議論を詳しく見ておくべきである。この例のように式を二つに分け、それぞれの極限が $0$ なことを異なる方法で示し、それによって元の式が $0$ に収束することを示さなければならないケースは非常に多い。この方法の証明は一筋縄ではいかない。

証明の要点は次の通りである: 添え字が大きいなら $t_{n}$ は小さいという仮定の下で、 $n$ が大きいとき $(t_{1} + t_{2} + \dots + t_{n}) / n$ が小さいことを示せばよい。分子の級数を二つの部分に分ける。一つ目の部分に入る項は小さくないが、項の数が $n$ と比べたとき少ない。二つ目の部分に入る項の数は少なくないが、項が小さいので和は $n$ より小さい速度でしか増加しない。よって $(t_{1} + t_{2} + \dots + t_{n}) / n$ を分割した二つの級数の和は両方とも $n$ が大きいとき $n$ と比べて小さいと分かる]
$n \to \infty$ で $ϕ (n) - ϕ (n - 1) \to l$ なら $ϕ (n) / n \to l$ となる。

[ $ϕ (n) = s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n}$ とすれば $ϕ (n) - ϕ (n - 1) = s_{n}$ となり、前問の結果に帰着される]
$s_{n} = \frac{1}{2} {1 - (- 1)^{n}}$ なら $s_{n}$ が $n$ の偶奇によって $1$ または $0$ となるが、 $n \to \infty$ のとき $(s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n}) / n \to \frac{1}{2}$ が成り立つ。

[ここから問題 27 の逆が偽だと分かる。この $s_{n}$ は $n \to \infty$ で振動する]
次の級数の最初の $n$ 項の和を $c_{n}, s_{n}$ とする: $\frac{1}{2} + cos θ + cos 2 θ + \dots, sin θ + sin 2 θ + \dots$ このとき $lim \frac{c _{1} + c _{2} + \dots + c _{n}}{n} = 0, lim \frac{s _{1} + s _{2} + \dots + s _{n}}{n} = \frac{1}{2} cot \frac{1}{2} θ$ が成り立つ。

$lim {ψ (n) - ϕ (n)} = 0$ および両方の関数が極限 $e$ に向かうことの証明はクリスタル著 Algebra, vol. ii, pp.78 にある。本書では第九章で違う方法を使って証明する^[return]
問題 8–12 はブロムウィッチ著 Infinite Series から取った。^[return]