§120 微分の反復

\(\phi(x) = x^{m}\) なら次が成り立つ: \[ \phi^{(n)}(x) = m(m - 1) \cdots (m - n + 1)x^{m-n} \] この結果を使えば任意の多項式の \(n\) 次導関数を求められる。

\(\phi(x) = (ax + b)^{m}\) なら次が成り立つ: \[ \phi^{(n)}(x) = m(m - 1) \cdots (m - n + 1)a^{n}(ax + b)^{m-n} \] この二つの命題で \(m\) は任意の有理数を表す。もし \(m\) が整数なら \(n \gt m\) で \(\phi^{(n)}(x) = 0\) となる。

等式 \[ \left(\frac{d}{dx}\right)^{n} \frac{A}{(x - \alpha)^{p}} = (-1)^{n} \frac{p(p + 1) \cdots (p + n - 1)A}{(x - \alpha)^{p+n}} \] を使えば、任意の有理関数の \(n\) 次導関数を部分分数の和を使った標準形で書ける。

\(\dfrac{1}{1-x^{2}}\) の \(n\) 次導関数が \[ \dfrac{1}{2}(n!) \{(1 - x)^{-n-1} + (-1)^{n}(1 + x)^{-n-1}\} \] だと示せ。

ライプニッツの定理: \(y\) が積 \(uv\) として表され、\(u\) と \(v\) の最初の \(n\) 個の導関数が得られているとする。このときライプニッツの定理から \(y\) の \(n\) 次導関数が \[ (uv)_{n} = u_{n}v + \binom{n}{1}u_{n-1}v_{1} + \binom{n}{2}u_{n-2}v_{2} + \cdots + \binom{n}{r}u_{n-r}v_{r} + \cdots + uv_{n} \] だと分かる。ここで添え字は微分を表し、例えば \(u_{n}\) は \(u\) の \(n\) 次導関数を表す。定理の証明には \[ \begin{aligned} (uv)_{1} & = u_{1}v + uv_{1},\\ (uv)_{2} & = u_{2}v + 2u_{1}v_{1} + uv_{2},\ \ldots \end{aligned} \] を利用する。こういった関係を繰り返し使えば \[ (uv)_{n} = u_{n}v + a_{n, 1} u_{n-1} v_{1} + a_{n, 2} u_{n-2} v_{2} + \cdots + a_{n, r} u_{n-r} v_{r} + \cdots + uv_{n} \] という形の結論が得られると分かる。

\(r = 1,\ 2,\ \ldots,\ n - 1\) で \(a_{n, r} = \dbinom{n}{r}\) だと仮定し、その上で \(r = 1,\ 2,\ \ldots\ n\) に対して \(a_{n+1, r} = \dbinom{n + 1}{r}\) だと示せばよい。すると数学的帰納法によって全ての \(n\) と \(r\) で \(a_{n, r} = \dbinom{n}{r}\) だと分かる。

\((uv)_{n}\) を微分したときの \((uv)_{n+1}\) の形に注目すると \(u_{n+1-r}v_{r}\) の係数が \[ a_{n, r} + a_{n, r-1} = \binom{n}{r} + \binom{n}{r - 1} = \binom{n + 1}{r} \] になると分かり、証明が完了する。

\(x^{m}f(x)\) の \(n\) 次導関数は \[ \begin{gathered} \frac{m!}{(m - n)!} x^{m-n} f(x) + n \frac{m!}{(m - n + 1)!} x^{m-n+1} f'(x) \\ \qquad + \frac{n(n - 1)}{1·2}\, \frac{m!}{(m - n + 2)!} x^{m-n+2} f''(x) + \cdots \end{gathered} \] である。級数は第 \(n + 1\) 項に達するか \(0\) になるまで続く。

\(D_{x}^{n}\cos x = \cos(x + \frac{1}{2}n\pi),\ D_{x}^{n}\sin x = \sin(x + \frac{1}{2}n\pi)\) を示せ。

\(y = A\cos mx + B\sin mx\) なら \(D_{x}^{2} y + m^{2} y = 0\) が成り立つ。さらに \[ y = A\cos mx + B\sin mx + P_{n}(x) \] で \(P_{n}(x)\) が \(n\) 次の多項式なら \(D_{x}^{n+3} y + m^{2} D_{x}^{n+1} y = 0\) が成り立つ。

\(x^{2} D_{x}^{2}y + x D_{x} y + y = 0\) なら \[ x^{2} D_{x}^{n+2} y + (2n + 1)x D_{x}^{n+1} y + (n^{2} + 1) D_{x}^{n} y = 0 \] が成り立つ。

[ライプニッツの定理を使って \(n\) 回微分する]

\(\dfrac{Lx + M}{x^{2} - 2Bx + C}\) の \(n\) 次導関数を \(U_{n}\) とすると \[ \frac{x^{2} - 2Bx + C}{(n + 1)(n + 2)} U_{n+2} + \frac{2(x - B)}{n + 1} U_{n+1} + U_{n} = 0 \] が成り立つ。

(Math. Trip. 1900.)

[まず \(n = 0\) の場合の等式を示し、それからライプニッツの定理を使って \(n\) 回微分する]

\(\bm{\dfrac{a}{a^{2} + x^{2}} }\) と \(\bm{\dfrac{x}{a^{2} + x^{2}} }\) の \(\bm{n}\) 次導関数: 等式 \[ \frac{a}{a^{2} + x^{2}} = \frac{1}{2i} \left(\frac{1}{x - ai} - \frac{1}{x + ai}\right), \quad \frac{x}{a^{2} + x^{2}} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x - ai} + \frac{1}{x + ai}\right) \] から \[ D_{x}^{n} \left(\frac{a}{a^{2} + x^{2}}\right) = \frac{(-1)^{n} n!}{2i} \left\{ \frac{1}{(x - ai)^{n+1}} - \frac{1}{(x + ai)^{n+1}} \right\} \] が分かる。\(D_{x}^{n}\{x/(a^{2} + x^{2})\}\) に対しても同様の等式が成り立つ。\(\rho = \sqrt{x^{2} + a^{2}}\) として、サインとコサインが \(x/\rho\) と \(a/\rho\) になる絶対値が最小の実数を \(\theta\) とすれば、\(x + ai = \rho\operatorname{Cis}\theta\) および \(x - ai = \rho\operatorname{Cis}(-\theta )\) となる。ここから \[ \begin{aligned} D_{x}^{n} \frac{a}{a^{2} + x^{2}} & = \frac{(-1)^{n} n!\,\rho^{-n-1}}{2i} [\operatorname{Cis} \{(n + 1)\theta\} - \operatorname{Cis} \{-(n + 1)\theta\}]\\ & = (-1)^{n} n!\, (x^{2} + a^{2})^{-(n+1)/2} \sin \{(n + 1) \arctan \frac{a}{x}\} \end{aligned} \] が分かる。同様に \[ D_{x}^{n} \frac{x}{a^{2} + x^{2}} = (-1)^{n} n!\, (x^{2} + a^{2})^{-(n+1)/2} \cos \{(n + 1) \arctan \frac{a}{x}\} \] が成り立つ。

次を示せ: \[ \begin{aligned} D_{x}^{n} \frac{\cos x}{x} & = \frac{1}{x^{n+1}} \{P_{n} \cos(x + \dfrac{1}{2}n\pi) + Q_{n} \sin(x + \dfrac{1}{2}n\pi)\},\\ D_{x}^{n} \frac{\sin x}{x} & = \frac{1}{x^{n+1}} \{P_{n} \sin(x + \dfrac{1}{2}n\pi) - Q_{n} \cos(x + \dfrac{1}{2}n\pi)\} \end{aligned} \] \(P_{n}\) と \(Q_{n}\) はそれぞれ \(n\) 次および \(n - 1\) 次の \(x\) の多項式とする。

次を示せ: \[ \begin{gathered} \frac{dx}{dy} = 1 \bigg/\biggl(\frac{dy}{dx}\biggr),\quad \frac{d^{2} x}{dy^{2}} = -\frac{d^{2} y}{dx^{2}} \bigg/ \biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)^{3},\\ \frac{d^{3} x}{dy^{3}} = -\biggl\{\frac{d^{3} y}{dx^{3}}\, \frac{dy}{dx} - 3\biggl(\frac{d^{2} y}{dx^{2}}\biggr)\biggr\} \bigg/ \biggl(\frac{dy}{dx}\biggr)^{5} \end{gathered} \]

\(yz = 1\) で \(y_{r} = \dfrac{D_{x}^{r}y}{r!},\ z_{s} = \dfrac{D_{x}^{s}z}{s!}\) なら \[ \frac{1}{z^{3}} \begin{vmatrix} z & z_{1}& z_{2}\\ z_{1}& z_{2}& z_{3}\\ z_{2}& z_{3}& z_{4} \end{vmatrix} = \frac{1}{y^{2}} \begin{vmatrix} y_{2}& y_{3}\\ y_{3}& y_{4} \end{vmatrix} \] が成り立つ。

(Math. Trip. 1905.)

ダッシュが \(x\) に関する微分を表すとして、 \[ W(y, z, u) = \begin{vmatrix} y & z & u\\ y' & z' & u'\\ y''& z''& u'' \end{vmatrix} \] とすると \[ W(y, z, u) = y^{3}\, W\left(1, \frac{z}{y}, \frac{u}{y}\right) \] が成り立つ。

もし \[ ax^{2} + 2hxy + by^{2} + 2gx + 2fy + c = 0 \] なら \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{ax + hy + g}{hx + by + f} \] および \[ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{abc + 2fgh - af^{2} - bg^{2} - ch^{2}}{(hx + by + f)^{3}} \] が成り立つ。