§132 代数関数の積分

次に考えるのは当然代数関数の積分である。\(x\) の代数関数 \(y\) の積分を求めよう。しかしここでは、一見するともっと一般的な次の積分を考えた方が議論が上手く進む: \[ \int R(x, y)\, dx \] \(R(x, y)\) は \(x\) と \(y\) の有理関数とする。こうして表すとより一般的な問題を扱っているように見えるが、関数 \(R(x, y)\) も \(x\) の代数関数なので (例 14.6)、考えている問題は変わらない。実際に使う形を決めるのは扱いやすさだけである: 例えば \[ \frac{px + q + \sqrt{ax^{2} + 2bx + c}} {px + q - \sqrt{ax^{2} + 2bx + c}} \] という関数は、そのまま \(x\) の代数関数とみなすよりも \(x\) と代数関数 \(\sqrt{ax^{2} + 2bx + c}\) の関数とみなした方がずっと分かりやすい。