§148 テイラー級数

\(f(x) = \sin x\) とする。\(f(x)\) の全ての導関数は全ての \(x\) で連続となる。加えて全ての \(x\) と \(n\) で \(|f^{n}(x)| \leq 1\) が成り立つ。よって \(|R_{n}| \leq h^{n}/n!\) であり、\(h^{n}/n!\) は \(h\) の値に関わらず \(n \to \infty\) のとき \(0\) に向かう (例 27.12)。ここから \[ \sin(x + h) = \sin x + h\cos x - \frac{h^{2}}{2!}\sin x - \frac{h^{3}}{3!}\cos x + \frac{h^{4}}{4!}\sin x + \cdots \] が全ての \(x\) と \(h\) で成り立つと分かる。特に全ての \(h\) に対して \[ \sin h = h - \frac{h^{3}}{3!} + \frac{h^{5}}{5!} - \cdots \] である。同様に \[ \begin{aligned} \cos(x + h) & = \cos x - h\sin x - \frac{h^{2}}{2!}\cos x + \frac{h^{3}}{3!} \sin x + \cdots,\quad \\ \cos h & = 1 - \frac{h^{2}}{2!} + \frac{h^{4}}{4!} - \cdots \end{aligned} \] を示せる。

二項級数: \(m\) を正または負の有理数として、\(f(x) = (1 + x)^{m}\) と定める。このとき \(f^{(n)}(x) = m(m - 1) \cdots (m - n + 1) (1 + x)^{m-n}\) だから、マクローリン級数は次の形となる: \[ (1 + x)^{m} = 1 + \binom{m}{1}x + \binom{m}{2}x^{2} + \cdots \]

\(m\) が正の整数なら級数は途中で打ち切られ、正の整数に対する通常の二項定理が得られる。一般的な場合には \[ R_{n} = \frac{x^{n}}{n!} f^{(n)}(\theta_{n}x) = \binom{m}{n}x^{n}(1 + \theta_{n}x)^{m-n} \] だから、ある \(x\) の区間で正の整数でない \(m\) に対してこのマクローリン級数が本当に \((a + x)^{m}\) を表すと示すには、その区間の全ての \(x\) で \(R_{n} \to 0\) を示さなければならない。実は \(R_{n}\) は \(-1 \lt x \lt 1\) で収束し、\(0 \leq x \lt 1\) の場合の収束は簡単に示せる。\(0 \leq x \lt 1\) なら \(n \gt m\) のとき \((1 + \theta_{n}x)^{m-n} \lt 1\) であり、\(n \to \infty\) のとき \(\dbinom{m}{n} x^{n} \to 0\) が成り立つ (例 27.13)。しかし \(-1 \lt x \lt 0\) のときには証明が難しくなる。\(n \gt m\) では \(1 + \theta_{n}x \lt 1\) と \((1 + \theta_{n}x)^{m-n} \gt 1\) が成り立つが、\(0 \lt \theta_{n} \lt 1\) だけでは「\(1 + \theta_{n}x\) がとても小さく \((1 + \theta _{n}x)^{m-n}\) がとても大きい」というケースを排除できない。

実はテイラーの定理を使って二項定理を証明するには、\(R_{n}\) を別の形で表す必要がある。これは §162 で示す。