§188 交代級数

級数 \[ \begin{gathered} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots,\quad 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{4}} + \cdots,\\ \sum \frac{(-1)^{n}}{(n + a)},\quad \sum \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n + a}},\quad \sum \frac{(-1)^{n}}{(\sqrt{n} + \sqrt{a})},\quad \sum \frac{(-1)^{n}}{(\sqrt{n} + \sqrt{a})^{2}} \end{gathered} \] はどれも条件収束する。ここで \(a \gt 0\) とする。

\(a \gt 0\) に対する級数 \(\sum(-1)^{n}(n + a)^{-s}\) は \(s \gt 1\) なら絶対収束し、\(0 \lt s \leq 1\) なら条件収束し、\(s \leq 0\) なら振動する。

§188 で示した級数の和は常に \(s_{n}\) と \(s_{n+1}\) の間にある。級数全体ではなく最初の \(n\) 項だけを取ったときの和の誤差は第 \(n + 1\) 項の絶対値以下である。

級数 \[ \sum \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n} + (-1)^{n}} \] を考える。ただし最初のいくつかの項の定義を複雑にしないために \(n = 2\) から級数を始めるとする。この級数を変形すると \[ \sum \left[\left\{ \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n} + (-1)^{n}} - \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right\} + \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right] \] つまり \[ \sum \left\{\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n + (-1)^{n}\sqrt{n}}\right\} = \sum (\psi_{n} - \chi_{n}) \] とできる。\(\sum \psi_{n}\) は収束するが、\(\chi_{n}\) は常に正で \(\lim n\chi_{n} = 1\) なので \(\sum \chi_{n}\) は発散する。よって最初の級数は、\(\phi_{2} - \phi_{3} + \phi_{4} - \cdots\) という形をしていて \(\phi_{n} \to 0\) にもかかわらず発散する。この例は「\(\phi_{n}\) が単調に \(0\) へ向かう」という条件が上述の結果に不可欠なことを示している。\(\sqrt{2n + 1} - 1 \lt \sqrt{2n} + 1\) だから、いま考えた級数はこの条件を満たさない。

§188 の結果における条件が満たされず、\(\phi_{n}\) が単調に極限 \(l\) へ向かうなら、級数 \(\sum (-1)^{n}\phi_{n}\) は有限に振動する。

条件収束の級数を並べ替えると和が変化する: \(s\) を級数 \(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots\) の和として、最初の \(2n\) 個の項の和を \(s_{2n}\) とする。このとき \(\lim s_{2n} = s\) が成り立つ。

二つの正の項と一つの負の項を交互に並べた級数 \[ 1 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{4} + \cdots \qquad \text{(1)} \] を考える。この級数の最初の \(3n\) 個の項の和を \(t_{3n}\) とすると、 \[ \begin{aligned} t_{3n} & = 1 + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \cdots - \frac{1}{2n}\\ & = s_{2n} + \frac{1}{2n + 1} + \frac{1}{2n + 3} + \cdots + \frac{1}{4n - 1} \end{aligned} \] が成り立つ。

ここで \[ \lim \left[\frac{1}{2n + 1} - \frac{1}{2n + 2} + \frac{1}{2n + 3} - \cdots + \frac{1}{4n - 1} - \frac{1}{4n}\right] = 0 \] が成り立つ。括弧に含まれる項の和が明らかに \(n/(2n + 1)(2n + 2)\) より小さいためである。そして §156 と §158 からは \[ \lim \left(\frac{1}{2n + 2} + \frac{1}{2n + 4} + \cdots + \frac{1}{4n}\right) = \dfrac{1}{2} \lim \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{1 + (r/n)} = \dfrac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{dx}{x} \] が分かる。よって \[ \lim t_{3n} = s + \dfrac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{dx}{x} \] であり、級数 \(\text{(1)}\) の和は \(s\) でないことが判明する。この二つの級数の値を定義する方法を後で示す: §213 と 第九章に関するその他の例 19 を参照。

実は条件収束する級数を並べ替えると、任意の値に収束する級数および \(\infty\) や \(-\infty\) に発散する級数を作れる。その証明はブロムウィッチ著 Infinite Series, p. 68 に譲る。

級数 \[ 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{7}} - \frac{1}{\sqrt{4}} + \cdots \] は \(\infty\) に発散する。 [ここでは \(s_{2n} = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \cdots - \dfrac{1}{\sqrt{2n}}\) とすれば \[ t_{3n} = s_{2n} + \frac{1}{\sqrt{2n + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2n + 3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{4n - 1}} \gt s_{2n} + \frac{n}{\sqrt{4n - 1}} \] が成り立つが、\(s_{2n}\) は \(n \to \infty\) で極限に向かう]