§193 べき級数の収束領域 (収束円)

\(a \gt 0\) に対する級数 \(1 + az + a^{2}z^{2} + \cdots\) は \(1/a\) の収束半径を持つ。収束円上では収束せず、\(z = 1/a\) では発散し、収束円上の他の点では有限に振動する。

級数 \(\dfrac{z}{1^{2}} + \dfrac{z^{2}}{2^{2}} + \dfrac{z^{3}}{3^{2}} + \cdots\) の収束半径は \(1\) であり、収束円上の全ての点で絶対収束する。

より一般に言うと、\(n \to \infty\) で \(|a_{n+1}|/|a_{n}| \to \lambda\) または \(|a_{n}|^{1/n} \to \lambda\) なら、級数 \(a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + \cdots\) の収束半径は \(1/\lambda\) となる。一つ目の場合には \(|z|\) が \(1/\lambda\) より小さいなら \[ \lim \frac{|a_{n+1}z^{n+1}|}{|a_{n}z^{n}|} = \lambda |z| \] が \(1\) より小さくなり、そうでなければ \(1\) よりも大きくなる。後はダランベールの判定法 (§168 の結果 3) を使えば収束が示せる。二つ目の場合にはコーシーの判定法 (§168 の結果 2) を使って同様に議論できる。

対数級数: 級数 \[ z - \dfrac{1}{2} z^{2} + \dfrac{1}{3} z^{3} - \cdots \] は "対数" 級数 (logarithmic series) と呼ばれる (こう呼ばれる理由は後述する)。問題 3 を使うとこの級数の収束半径が \(1\) だと分かる。

\(z\) が収束円上にあるときを考える。\(z = \cos\theta + i\sin\theta\) とすれば、対数級数は \[ \cos\theta - \dfrac{1}{2} \cos 2\theta + \dfrac{1}{3} \cos 3\theta - \cdots + i(\sin\theta - \dfrac{1}{2} \sin 2\theta + \dfrac{1}{3} \sin 3\theta - \cdots) \] となる。

よって \(\theta\) が \(\pi\) の奇数倍でないとき実部と虚部は収束するが、絶対収束はしない (例 79.3)。\(\theta\) が \(\pi\) の奇数倍なら \(z = -1\) であり、このときの対数級数 \(-1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \cdots\) は \(-\infty\) に発散する。よって対数級数は収束円上の \(z = -1\) 以外の全ての点で収束すると結論できる。

二項級数: 次の級数を考える: \[ 1 + mz + \frac{m(m - 1)}{2!} z^{2} + \frac{m(m - 1)(m - 2)}{3!} z^{3} + \cdots \] \(m\) が正の整数なら、この級数は有限項で打ち切られる。一般には \[ \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \frac{|m - n|}{n + 1} \to 1 \] なので、収束半径は \(1\) となる。収束円上における収束性は少し難しいのでここでは議論しない¹。