§209 極限を使った対数関数の表現

§75 の内容を使って次の等式を示そう: $lim n (1 - x^{- 1/ n}) = lim n (x^{1/ n} - 1) = lo g x$

$n \to \infty$ のとき $n (x^{1/ n} - 1)$ は極限に向かい (§75) $x^{1/ n}$ は $1$ に向かう (例 27.10) ので、 $n (x^{1/ n} - 1) - n (1 - x^{- 1/ n}) = n (x^{1/ n} - 1) (1 - x^{- 1/ n})$ は $0$ に向かう。よって §208 の不等式 $(3)$ から結果が得られる。

例 86

§208 の不等式 $(4)$ で $y = 1$ および $n = 6$ とすることで $2.5 < e < 2.9$ を示せ。
$t > 1$ なら $\frac{t ^{1/ n} - t ^{- 1/ n}}{t - t ^{- 1}} < \frac{1}{n}$ だと示し、これを使って $x > 1$ で $\int_{1}^{x} \frac{d t}{t ^{1 - (1/ n)}} - \int_{1}^{x} \frac{d t}{t ^{1 + (1/ n)}} < \frac{1}{n} \int_{1}^{x} (t - \frac{1}{t}) \frac{d t}{t} = \frac{1}{n} (x + \frac{1}{x} - 2)$ が成り立つことを示せ。この結果から §209 の結果を導け。
$n$ の関数 $ξ_{n}$ が $n \to \infty$ のとき $n ξ_{n} \to l$ を満たすなら $(1 + ξ_{n})^{n} \to e^{l}$ が成り立つ。 [ $n lo g (1 + ξ_{n})$ は次の形に変形できる: $l (\frac{n ξ _{n}}{l}) \frac{lo g ( 1 + ξ _{n} )}{ξ _{n}}$ 例 82.4 を使えば $n lo g (1 + ξ_{n}) \to l$ が分かる]
$n ξ_{n} \to \infty$ なら $(1 + ξ_{n})^{n} \to \infty$ が成り立ち、 $1 + ξ_{n} > 0$ かつ $n ξ_{n} \to - \infty$ なら $(1 + ξ_{n})^{n} \to 0$ が成り立つ。
$e^{y}$ が $y$ の任意のべきよりも速く無限大に向かうという結果を §208 の $(1)$ から導け。